Matematické Fórum

piiity · 05. 01. 2012 01:37

Ahoj mám danou funkci
$f(x,y)=x^2+2y+y^2$ při vazební podmínce $x^2+y^2=9$
a mám najít vázané extrémy.
Jelikož nejde použít metoda dosazovací, počítám s jakobiánem
1)udělal jsem si parciální derivace funkce f
$\partial x = 2x$
$\partial y = 2+2y$
2)parciální derivace vazební podmínky
$\partial x = 2x$
$\partial y = 2y$
3)jacobiho determinant
|2x 2+2y|
|2x 2y| kterej mi vyšel $-4x$
4)potom jsem si dal $-4x=0$ a vypočítal jsem bod $x=0$ a
dosadil do $x^2+y^2=9$ a dostal souřadnice $y=\pm 3$
takže mám podezřelé body z extrému 2 a to $A=[0,-3]$ $B=[0,3]$
a tyto body jsem dosazoval do zadané funkce f -> $f(x,y)=x^2+2y+y^2$
Když vyšlo pozitivní číslo, bylo to maximum jinak minimum, ale teď mi to
nevychází. Mohl by někdo prosím pomoct.
A ještě jedna otázka: když mi vyjde funkční hodnota 0 je to maximum nebo minimum?
Děkuji

jardofpr

↑ piiity:

ahoj,

čo je toto za metóda?
na niečo sa mi to matne podobá ale zdá sa mi že to nie je úplne to čo si chcel použiť

nemyslel si toto náhodou?
Odkaz

mimochodom charakter extrému funkcie nezistíš tak že vypočítaš funkčnú hodnotu v podozrivom bode,
to sa robí inak

piiity · 05. 01. 2012 12:00

↑ jardofpr:
Tak po přečtení tvého odkazu to vypadá, že se spíš používá Lagrangeova metoda.
My jsme si říkali, že se používá pro funkce tří a více proměnných, tak ji moc neumím.
Mohl bys prosím nastínit, jak bych počítal ten příklad užitím této metody.
Došel jsem k tomuto:(ale je to asi blbě)
F = $x^2+2y+y^2+\lambda(x^2+y^2-9)$
$\frac{\partial F }{\partial x }= 2x+\lambda (2x) = 0$
$\frac{\partial F }{\partial y }= 2+2y+\lambda (2y) = 0$
$\frac{\partial F }{\partial \lambda }= x^2+y^2-9=0$
Ale ted mi nejde získat x a y, protože z první rovnice mi vychází, že
$\lambda = -2x/2x$ což je -1, když to dosadím do druhé rovnice, tak
mi vychází 2=0, což je blbost.

Rumburak

↑ piiity:
Ahoj. To značení parc. derivací v Tvém prvém příspěvku je sice silně nestandardní, ale jinak ten postup máš správně.
Metoda nulového Jacobiánu (v případech, kdy je použitená s ohledem na typ matice z parc. derivací) je ekvivalentní
metodě Lagrangeových multiplikátorů - jde jen o dva různé způsoby, jak vyjádřit, že v extrémálním bodě jsou gradienty
jistých funkcí lineárně závislé (s přihlédnutím k předpokladům o gradientech - samozřejmě).

EDIT: Minimum nemusí být vždy záporné, maximum nemusí být vždy kladné. Pouze platí, že minumum NENÍ VÉTŠÍ než maximum,
resp. maximum NENÍ MENŠÍ než minimum.

Zde ↑ piiity: to chtělo jen správnou interpretaci :
Hledáme bod [x, y] splňující $x^2+y^2-9=0$ tak, aby pro některé reálné $\lambda$ platilo

$\frac{\partial F }{\partial x }= 2x+\lambda (2x) = 0$ a zároveň $\frac{\partial F }{\partial y }= 2+2y+\lambda (2y) = 0$ .

Tvůj výpočet $\lambda = -2x/2x = -1$ vedoucí ke sporu vychází z předpokladu $x \ne 0$ . Získaný spor znamená, že
předpoklad $x \ne 0$ pro hledaný bod [x, y] zde nebyl správný . Musí tedy nutně být $x = 0$ a $y=\pm 3$ jako v ↑ piiity:,
číslo $\lambda$ pak můžeme vypočíst z rovnice $\frac{\partial F }{\partial y }= 2+2y+\lambda (2y) = 0$ , pokud by nás ještě zajímalo.
Úloha má 2 řešení (maximum, minimum) .

Mohli jsme postupovat i "dosazením vazby do funkce f":

$f(x,y)=x^2+2y+y^2 = 2y + 9$ .

V bodech křivky o rovnici $x^2+y^2=9$ (je to kružnice) probíhá $y \in \langle -3, 3 \rangle$ , na kterémžto intervalu
nabývá funkce $2y + 9$ svých extrémů v jeho krajních bodech.

piiity · 05. 01. 2012 13:34

↑ Rumburak:
Díky moc už tomu rozumím. Ale mohl bys mi prosím ještě popsat jak bych to vypočítal
z té $f(x,y)=x^2+2y+y^2 = 2y + 9$ .

Rumburak · 05. 01. 2012 14:04

↑ piiity:

Nehledej v tom žádnou složiost, je to naopak dětsky prosté. Hodnoty funkce $f(x,y)=x^2+2y+y^2= (x^2+y^2)+2y$
nás zajímají pouze na kružnici $k$ o rovnici $x^2+y^2=9$ , tedy pouze v případech, kdy $x^2+y^2=9$ . Můžeme proto dosadit
$f(x,y)= (x^2+y^2) + 2y = 9 + 2y$ . Jinak řečeno: probíhá-li bod $X[x, y]$ kružnici $k$ , potom $f(X) = g(y)$ ,
kde $g(y) := 2y + 9$ . Dále: jestliže bod $X[x, y]$ probíhá kružnici $k$ , pak $y$ probíhá interval $\langle -3, 3 \rangle$ . Extrémy funkce $f$
na kružnici $k$ jsou proto tytéž jako extrémy funkce $g$ na intervalu $\langle -3, 3 \rangle$ .