Matematické Fórum

myrek · 03. 01. 2012 17:42 — Editoval myrek (03. 01. 2012 20:10)

dobry den urcuji nutnou podminku konvergence rady s parametrem p
$\lim_{n\to\infty}(ln(\frac{n-1}{n+1}))(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^p$ upravami sem se dostal k
$\lim_{n\to\infty}(\frac{-2}{n+1})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^p$ prvni de k nule o druhem vime ze
$1\ge(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^p>0$ pro $p\ge0$
s p<0 bych se ale s nizsimi p dostaval zrejme blize k minus nekonecnu da se tedy nejak poznat od jakeho p to prestane splnovat nutnou podminku konvergence rady

Stýv · 03. 01. 2012 18:12

co tě napadně první, když vidíš rozdíl odmocnin?;)

myrek · 03. 01. 2012 20:29

↑ Stýv: p<0
$\lim_{n\to\infty} (\frac{-2}{n+1})\frac{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^{-p}}{1^p}$
pro p=-1 to pude jeste k 0 (v citateli odmocnina,ve jmenovateli n)
pro p=-2 to uz k nule nejde jde to k minus osmicce
tedy shrnuto pro p>-2 NP splnena
pro p<=-2 NP nesplnena

myrek · 03. 01. 2012 21:14

a ohledne konvergence tam kde je NP splnena, srovnavaci kriterium uzit nelze protoze logaritmus z toho zlomku je zaporny.. nebo se mylim?

Stýv · 03. 01. 2012 21:48

↑ myrek: tady by asi bylo vhodnější limitní srovnávací (nebo jak se to jmenuje)

myrek · 04. 01. 2012 19:36 — Editoval myrek (04. 01. 2012 22:25)

↑ Stýv:
$p>0 \lim_{n\to\infty}\frac{ln(\frac{n-1}{n+1})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^p}{\frac{-2}{n+1}*\frac1{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^p}} =\lim_{n\to\infty}\frac{ln(\frac{n-1}{n+1})}{\frac{-2}{n+1}}*\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^p}{\frac1{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^p}}*\frac{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^p}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^p}=1$
$\sum{b_n}=\frac{-2}{n+1}*\frac1{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^p}$ pro p>0 konverguje tedy i vyšetřovaná řada konverguje pro p>0.

p=0
$\lim_{n\to\infty}\frac{ln(\frac{n-1}{n+1})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^p}{\frac{-2}{n+1}*\frac1{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^p}} =\lim_{n\to\infty}\frac{ln(\frac{n-1}{n+1})}{\frac{-2}{n+1}}=1$ řada b_n pro p=0 diverguje tedy i řada vyšetřovaná diverguje.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

no jak se ted na to divam tak tam mam asi chybu v tom vypoctu výše co je nyní skryt
-2<p<0
$q=-p$
$\lim_{n\to\infty}\frac{ln(\frac{n-1}{n+1})*(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^{-q}}{\frac{-2}{n+1}*(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^q}=\lim_{n\to\infty}\frac{ln(\frac{n-1}{n+1})}{\frac{-2}{n+1}*(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^q(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^q}=1$ ...tak takhle je to snad správně, b_n diverguje tedy i vyšetřovaná řada diverguje

SHRNUTÍ: p<=-2 nesplňuje nutnou podmínku, diverguje
-2<p<=0 diverguje (limit.srov.krit.)
p>0 konverguje (limit.sroov.krit.)

Stýv · 05. 01. 2012 01:02

↑ myrek: proč to rozděluješ na tři případy, když pak počítáš třikrát tu samou limitu?

myrek · 05. 01. 2012 01:08

↑ Stýv: je pravda ze p nema vliv na limitu jak jsem zjistil ale ma vliv urcite na to zda b_n konverguje nebo diverguje, prislo mi to tak lepsi si to rozdelit

Stýv · 05. 01. 2012 18:20

je to zbytečná práce navíc. ale to je tvoje věc...

Matematické Fórum

#1 03. 01. 2012 17:42 — Editoval myrek (03. 01. 2012 20:10)

nutna podminka

#2 03. 01. 2012 18:12

Re: nutna podminka

#3 03. 01. 2012 20:29

Re: nutna podminka

#4 03. 01. 2012 21:14

Re: nutna podminka

#5 03. 01. 2012 21:48

Re: nutna podminka

#6 04. 01. 2012 19:36 — Editoval myrek (04. 01. 2012 22:25)

Re: nutna podminka

#7 05. 01. 2012 01:02

Re: nutna podminka

#8 05. 01. 2012 01:08

Re: nutna podminka

#9 05. 01. 2012 18:20

Re: nutna podminka

Zápatí