Matematické Fórum

CarloSsS

Zdravim zdejsi osazenstvo.
Prosim o pomoc pri reseni toho jak zjistit zda-li nasledujici rada konvergue nebo diverguje. Ma vyjit ze diverguje, limita ma vyjit 1/e, ale ja se k tomu nemohu dopocitat.
Mam radu definovanou takto:
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}$
Jsem si jisty, ze limitu jsem sestavil spravne a to nasledovne:
$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}}$
Prevratim jmenovatele a roznasobim a pokratim faktorialy (tohle by snad taky melo byt dobre):
$\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)\cdot n!\cdot n^n}{(n+1)^{n+1}\cdot n!}= \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)\cdot n^n}{(n+1)^{n+1}}= \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)\cdot n^n}{(n+1)^{n+1}}=$
Rozlozim cleny ve jmenovateli na jednotlive mocniy:
$\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)\cdot n^n}{n^{n+1}+2n+1^{n+1}}= \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)\cdot n^n}{n^n \cdot n^1+2n+1^n\cdot 1^1}=$
Vytknu n^n a pak vykratim, dostanu $\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)\cdot n^n}{n^n ( n+\frac{2n}{n^n}+\frac{1^n}{n^n})}= \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)}{( n+\frac{2n}{n^n}+\frac{1^n}{n^n})}=$ :
Clen $\frac{1^n}{n^n}$ je roven $\frac{1^\infty}{\infty} = 0$ , clen $\frac{2n}{n^n}$ prevedu pomoci pravidel pro pocitani s mocninami na:
$\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)}{( n+ 2n^{1-n}+0)}=$

cela limita tedy je:
$\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)}{( n+ 2n^{1-n)}}=$

rozdelim vyraz $n+ 2n^{1-n}$ :
$\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)}{( n+ 2n^1 \cdot n^{-n}}=$

a dostanu:
$\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)}{n}=1$

vyraz ve jemnovateli po dostazeni $\frac{1}{n^{n}} = \frac{1}{\infty}=0$ , tedy tento vyraz vypadne a dostavam:
$\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)}{n}=$

Coz je spatne, jelikoz ma vyjit: 1/e

Netusim kde delam chybu, muzete mi nekto poradit? Uz jsem si to kontroloval 2 krat a na nic jsem neprisel.
Predem diky za jakoukoliv pomoc.

jrn · 05. 01. 2012 23:09

Ahoj, podobná limita
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=37255

CarloSsS · 05. 01. 2012 23:14

↑ jrn:
A jak se prislo na to 1/e? Ktera dilci limita ma takovyto vysledek? Tj nejake pravidlo? Jeslti jo tak jake, uz jsem na nej musel zapomenout.

jelena · 05. 01. 2012 23:27

Zdravím,

na závěr 3 řádku ještě taková úprava (Ty to máš potom nějak komplikované):

$\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)\cdot n!\cdot n^n}{(n+1)^{n+1}\cdot n!}= \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)\cdot n^n}{(n+1)^{n+1}}= \lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(n+1)^{n}}$

1/e zřejmě máš na mysli tuto část:

$\lim \left ( \frac{n}{n+1} \right )^{n}=\lim \left ( \frac{n+1-1}{n+1} \right )^{n}$ úpravy podle Maggie například nebo tabulková limita

Je to v pořádku? Děkuji.

Honzc · 06. 01. 2012 10:24

↑ CarloSsS:
Pokračuji v ↑ jelena:
$\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)\cdot n!\cdot n^n}{(n+1)^{n+1}\cdot n!}= \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)\cdot n^n}{(n+1)^{n+1}}= \lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(n+1)^{n}}=$
$=\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(n(1+\frac{1}{n}))^{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{n^{n}(1+\frac{1}{n})^{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^{n}}=\frac{1}{e}$

CarloSsS · 06. 01. 2012 18:12

↑ Honzc:
Diky moc, to resi muj problem.

Matematické Fórum

#1 05. 01. 2012 23:06 — Editoval CarloSsS (05. 01. 2012 23:08)

Ciselna rada

#2 05. 01. 2012 23:09

Re: Ciselna rada

#3 05. 01. 2012 23:14

Re: Ciselna rada

#4 05. 01. 2012 23:27

Re: Ciselna rada

#5 06. 01. 2012 10:24

Re: Ciselna rada

#6 06. 01. 2012 18:12

Re: Ciselna rada

Zápatí