Matematické Fórum

syrda · 06. 01. 2012 14:41

↑↑ jardofpr:
takže ted napíšu jak jsem to pochopil od tebe...; musíš si určit za tech podmínek hodnost matice A a hodnost matice rozšířený pokud se ti ty hodnosti nerovnají je výsledkem že soustava nemá řešení, pokud s ti rovnají a zároveň se ti rovnají s počtem neznámých je vysledkem 1 řešení a pokud se ti hodnosti rovnaji ale nerovnaj se ti s počtem neznámých tak je vysledkem nekonecne mnoho reseni.....chapu to dobře?? a jen si nejsem jistej tím že se rovnají počtem neznámých...to mám spočítat jako jestli se h(A) = počtu X1,X2..Xn??

jardofpr

↑ syrda:

chápeš to správne :)

ide o to že napr.

2.) (i) povedzme že ti toto ostalo po eliminácii

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 1 & 6\\ \end{array} \right)$

je to vlastne prepis systému

$1x_{1} + 0x_{2} + 0x_{3} = 1$
$0x_{1} + 1x_{2} + 0x_{3} = 3$
$0x_{1} + 0x_{2} + 1x_{3} = 6$

z toho už máš riešenie $[x_{1},x_{2},x_{3}] = [1,3,6]$
o tom je tá eliminácia

vidíš že h(A)=3 a n=3 => práve jedno riešenie

syrda · 06. 01. 2012 15:01

↑ jardofpr:
Aha tak bych řekl že se blížím ke zdárnému cíly :) řekl bych že to už chápu :) ted bych se jen zeptal na pár otázek spíš teoreticky než prakticky...pokud by to bylo jak jsi psal, ale v prvním řádku by bylo:
1X1 + 3X2 + 0X3 = 1 a pak další by byli stejné..pak by n= stále 3 nebo 4? protože jsou tu poříd 3 neznámé, ale X2 je 2x...

jardofpr · 06. 01. 2012 15:07

↑ syrda:

no blížime sa tam, už sme tak v polovici :)
ale tá druhá polovica bude ľahšia ..
ale musím sa priznať že nerozumiem tvojej otázke

syrda · 06. 01. 2012 15:10

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 1 & 6\\ \end{array} \right)$
jedná se mi o ten obrázek jak jsi sem dával před chvílí...kdyby v prvním ŘÁDKU bylo místo 0X2 třeba 2X2...
zdali by byl n(počet neznámých) stále 3 a nebo 4 ...:) a tak se klidně můžeme vrhnout na tu druhou polovičku :)

syrda · 06. 01. 2012 15:12

Jinak děkuju za čas kterej jseš ochotnej trávit vysvětlováním mi něčeho...

jardofpr · 06. 01. 2012 15:17

↑ syrda:

to je ok, stíham popri tom pracovať :)

myslíš takto keby to bolo?

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 1 & 6\\ \end{array} \right)$

syrda · 06. 01. 2012 15:26

↑ jardofpr:
přasně tak, ale už jsem si to dostudoval....:D h(A) = 3 a h(A/b) = 3

jardofpr · 06. 01. 2012 15:51

↑ syrda:

teda toto si treba ujasniť

zapíšem to všeobecne najprv

na začiatku máš systém m rovníc o n neznámych:

$a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} + ... + a_{1n}x_{n} = b_{1}$
$a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + a_{23}x_{3} + ... + a_{2n}x_{n} = b_{2}$
$\vdots \qquad \qquad \qquad \vdots \qquad \qquad \qquad\vdots \qquad \qquad \vdots$
$a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + a_{m3}x_{3} + ... + a_{mn}x_{n} = b_{m}$

teda ako môžeš vidieť je to systém m rovníc o n neznámych

už skrátený maticový zápis je

$\left( \begin{array}{ccccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} & b_{2} \\ \qquad & \vdots & \qquad & \ddots & \qquad & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} & b_{m} \end{array} \right)$

to že pri eliminácii niektoré tie prvky matice sa zmenia na nulu nemení nič na počte premenných ani na počte rovníc .. jasné? čísla m a n sú stabilné a nemenia sa ani v závislosti od hodnôt v matici

keby si mal maticu samých núl 5x5 a maticu samých 1-tiek 5x5 stále je to matica 5x5 .. oki?

syrda · 06. 01. 2012 16:04

↑ jardofpr:
oky...myslim, že bychom se mohli vrátit k původnímu mému příkladu, ted jsi sem tedy jist že pro a=1 neexistuje žádné řešení soustavy rovnic jelikož h(A) se nerovná h(A/b)...dále pro a se nerovná 1nastávají 2 případy...kdy se rovnají s počtem neznámých je vysledkem 1 řešení a pokud se ti hodnosti rovnaji ale nerovnaj se ti s počtem neznámých tak je vysledkem nekonecne mnoho reseni...nejsem si jistý jak to řešit k tomu jednomu řešení a nekonečně mnoho...

jardofpr · 06. 01. 2012 16:13

↑ syrda:

správne si to zhrnul ..
teraz by sme sa naozaj mohli k tvojmu príkladu vrátiť
napadá ťa ako pokračovať?

syrda · 06. 01. 2012 16:18

↑ jardofpr:
Asi to nějak špatně chodí, jsem ti zprácvu předtím napsal akorát to samé a jak pokračovat :D

jardofpr · 06. 01. 2012 16:24

oki, tak sa pozri na to kde si skončil, a povedz mi ako by si pokračoval keby tam namiesto a bolo číslo 2 ...

syrda · 06. 01. 2012 16:28

↑ jardofpr:
místo a by byla 2, tak by mě vyšlo X3 a pak už bych jenom dosazoval výše a vypočítával X2 a X1...
Ale tady když bude parametr tak vyjde (a-1)*x3= 2-3a > x3 = 2-3a / (a-1).... a pak by mě všude vycházel parametr A u dalšího dopočítávání...

jardofpr

presne tak,

ale už iba na pravej strane
ten výsledok predsa má byť závislý od parametra nie?
to ti nevyjde konkrétne číslo
vyjde ti to pre každú premennú nejaká funkcia od premennej a ..
potom keď si za a niečo zvolíš, vyjde ti taká hodnota pre každú premennú aká by ti vyšla keby si to dosadil hneď na začiatku a robil elimináciu tak ako si zvyknutý, s číslami .. :) hm?

jasné??

syrda · 06. 01. 2012 16:44

↑ jardofpr:
:rolleyes: Už mi to pomalu začíná docházet :) takže v tomto případě x3 = 2-3a / (a-1)..
To dosadím do řádku nadtím, kde mi vyjde zase něco s parametrem a to dosadím to prvního řádku, a budu mít vyjádřené neznámé s parametrem, kde vlastně mohu dosadit cokolic a vyjde to = že prakticky vypočítám pro nekonečně mnoho řešení pokud správně chápu :) a tím pádem mám 1) a = 1 > soustava nemá žádné řešení 2) vypočítám x1,x2,x3 s parametry > vypočítám kdy má soustava nekonečně mnoho řešení....a pokud to je dobře, tak by mi zbývalo kdy má soustava právě jedno řešení...Což nevím jak...Teoreticky by to šlo že si vyberu jakékoliv číslo, které ale nebude 1 a dosadím ho a dopočítám x1,x2,x3...ale pravděpodobně bude i nějaký obecnější zápis / řešení....

jardofpr

no, to ti teraz trochu uniklo
tak sem hodím taký vzorový a jednoduchý trochu

máš systém

$x_{1} + 2x_{2} = 2$
$x_{1} + ax_{2} = 1$

a chceš určiť počet riešení v závislosti od parametra $a$
prepis do matice:

$\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 2 \\ 1 & a & 1 \end{array} \right)$

eliminácia:

$\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 2 \\ 0 & a-2 & -1 \end{array} \right)$

rozvetvenie buď $(a=2) \vee (a\neq 2)$

1.) $a=2$ dosadíš do poslednej matice, dostaneš

$\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right)$

teda pre $a=2$ platí $h(A) \neq h(A|b)$ teda systém pre $a=2$ nemá riešenie

teraz $a \neq 2$ teda $a-2 \neq 0$ a môžme deliť tým výrazom

dostaneme

$\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2-a} \end{array} \right)$

posledný krok eliminácie

$\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & \frac{2-2a}{2-a} \\ 0 & 1 & \frac{1}{2-a} \end{array} \right)$

čo v zápise systému rovníc znamená

$x_{1}=\frac{2-2a}{2-a}$
$x_{2}=\frac{1}{2-a}$ (už sú tam vynechané tie nuly)

TOTO JE ZÁVER V PRÍPADE ŽE $h(A)=h(A|b)=n$ !!!

teda máš (v tabuľke je P označenie množiny riešení pre a

jardofpr

$\begin{array}{|c|c|c|} \textrm{parameter} & \textrm{množina riešení sústavy} & \textrm{počet riešení sústavy} \\ \hline a=2 & P=\emptyset & 0 \\ \hline a \in (-\infty,2) \cup (2,\infty) & P=\{ [\frac{2-2a}{2-a},\frac{1}{2-a}]\} & 1 \end{array}$

toto je práve ten všeobecnejší zápis,
pre ľubovoľné $a \in (-\infty,2) \cup (2,\infty)$ bude mať tá sústava PRÁVE JEDNO RIEŠENIE, kt. nájdeš tak že pre to konkrétne $a$ dosadíš

syrda · 06. 01. 2012 17:49

↑ jardofpr:
Dobře, to vše chápu....
Jen jak jsi psal ten poslední krok...nevím jak jsi eliminací se dostal na matici
1 0 3-2a/2-a
0 1 1/2-a

To 1/2-a jsi patrně roznásobil -1 aby ti to tak vyšlo...ale hořejšek by podle mě měl vyjít 2-2a / 2-a...
A navíc nechápu jaká je rozdíl v tom, když skončím krok předtím a už si dopočítám
x2....=....(a-2)x2 = -1 ... x2= -1/a-2 a to dosadím do první a vyjde x1 + 2*(-1/a-2) = 2...a vyšlo by mi to taky, a nemusel bych dále dělat Gausovu eliminaci....Pokud to není tedy nutné ji dělat dále...

syrda · 06. 01. 2012 17:51

Dobře, to co jsi dopsal tu tabulku s těmi řešenímy, vše chápu, ale kdy má soustava nekonečně mnoho tedy?

jardofpr

↑ syrda:

pravdu máš, pokašlal som to :D .. opravím to

nie je v tom žiadny rozdiel ale keď to robíš pre maticu 11x15 tak to je praktickejšie lebo zostávaš v maticovom zápise ktorý šetrí čas a priestor :)

teda rozumieš tomu prípadu kedy má sústava v závislosti od parametra práve jedno riešenie pre parameter alebo žiadne hej? môžme ísť dalej?

syrda · 06. 01. 2012 18:22

↑ jardofpr:
I mistr tesař se někdy utne :) Ale spíše jde o to, kdy by měla tedy soustava nekonečně mnoho řešení...že to co jsi napsal jako výsledek, jsem si myslel, že je právěže pro soustavu která má nekonečně mnoho řešení...Protože za ten parametr můžeš dosadit jakékoli číslo, a vyjde ti vždy výsledek...ale tak nevím, asi to bude jak to říkáš tty teda...:) jen tedy nevím kdy má nekonečně mnoho řešení(pokud to je tak jak jsi napsal, když má žádné, a jedno) tak právě v tomto příkladě vzorovím, abych vše pochopil chybí jen toto :)

syrda · 06. 01. 2012 18:23

↑ syrda:
Kdy nemá žádné rozumým, kdy má právě jedno rozumým tedy také(vyjádřím parametry a je to), ale kdy má nekonečně mnoho řešení? Můžeš dále :)

jardofpr

↑ syrda:
okej idem na to

predtým chcem ešte povedať že keď sa nad tým zamyslíš, tak to že môžeš za parameter dosadiť nekonečne veľa čisel neznamená že pre každý z tých parametrov bude mať tá sústava nekonečne veľa riešení .. pozri sa na to tak že hľadáš riešenia v závislosti od JEDNÉHO PARAMETRA .. a keď si zvolíš zaňho hodnotu, máš jednoznačne určený bod, ktorý je jediným riešením pre konkrétnu hodnotu toho parametra .. ;-)

syrda · 06. 01. 2012 18:47

↑ jardofpr:↑ jardofpr:
Máš pravdu, koukal jsem na to špatně :) a tak ted to nekonečně mnoho řešení?

Matematické Fórum

#26 06. 01. 2012 14:41

Re: Soustava rovnic s parametrem

#27 06. 01. 2012 14:54 — Editoval jardofpr (06. 01. 2012 14:55)

Re: Soustava rovnic s parametrem

#28 06. 01. 2012 15:01

Re: Soustava rovnic s parametrem

#29 06. 01. 2012 15:07

Re: Soustava rovnic s parametrem

#30 06. 01. 2012 15:10

Re: Soustava rovnic s parametrem

#31 06. 01. 2012 15:12

Re: Soustava rovnic s parametrem

#32 06. 01. 2012 15:17

Re: Soustava rovnic s parametrem

#33 06. 01. 2012 15:26

Re: Soustava rovnic s parametrem

#34 06. 01. 2012 15:51

Re: Soustava rovnic s parametrem

#35 06. 01. 2012 16:04

Re: Soustava rovnic s parametrem

#36 06. 01. 2012 16:13

Re: Soustava rovnic s parametrem

#37 06. 01. 2012 16:18

Re: Soustava rovnic s parametrem

#38 06. 01. 2012 16:24

Re: Soustava rovnic s parametrem

#39 06. 01. 2012 16:28

Re: Soustava rovnic s parametrem

#40 06. 01. 2012 16:32 — Editoval jardofpr (06. 01. 2012 16:39)

Re: Soustava rovnic s parametrem

#41 06. 01. 2012 16:44

Re: Soustava rovnic s parametrem

#42 06. 01. 2012 17:28 — Editoval jardofpr (06. 01. 2012 18:16)

Re: Soustava rovnic s parametrem

#43 06. 01. 2012 17:37 — Editoval jardofpr (06. 01. 2012 18:19)

Re: Soustava rovnic s parametrem

#44 06. 01. 2012 17:49

Re: Soustava rovnic s parametrem

#45 06. 01. 2012 17:51

Re: Soustava rovnic s parametrem

#46 06. 01. 2012 18:15 — Editoval jardofpr (06. 01. 2012 18:20)

Re: Soustava rovnic s parametrem

#47 06. 01. 2012 18:22

Re: Soustava rovnic s parametrem

#48 06. 01. 2012 18:23

Re: Soustava rovnic s parametrem

#49 06. 01. 2012 18:41 — Editoval jardofpr (06. 01. 2012 18:44)

Re: Soustava rovnic s parametrem

#50 06. 01. 2012 18:47

Re: Soustava rovnic s parametrem

Zápatí