Matematické Fórum

hfungus · 24. 12. 2011 18:23

izolovane teleso o hmotnosti 8kg se pohybuje rychlosti 2 m/s. exploduje..dve části o hmot. 4kg. kineticka ener. kazde z nich je tesne po vybuchu 16J. obe casti se pohybuji po puvodni primkove trajektorii telesa. urcete rychlost (velikost a smer) kazde z nich
(HRW 1, kap. 9., 46U, str. 234)

vyslo mi -0.83 a 4.83. je to spatne. mate nekdo napad?

o.neill

Nevím, co ti vyšlo -0.83 a 4.83. Každopádně ta velikost rychlosti je snad zřejmá -- ze vztahu $E_k=\frac{1}{2}mv^2$ vyjádříš rychlost a vypočítáš. Mně vyšlo $2\sqrt{2}{\rm m\cdot s^{-1}}\doteq2{,}82\,{\rm m\cdot s^{-1}}$ . Nyní je třeba zamyslet se na směrem. Vycházíme ze zákona zachování hybnosti, označme veličiny týkající se původního tělesa bez indexu a veličiny nově vzniklých těles s indexy 1 a 2.
$\vec{p}&=\vec{p_1}+\vec{p_2}\\ m\vec{v}&=m\vec{v_1}+m\vec{v_2}\\ \vec{v}&=\vec{v_1}+\vec{v_2}$
Na to je dobré udělat si náčrtek -- víme, že $|\vec{v_1}|=|\vec{v_2}|=2\sqrt{2}\,{\rm m\cdot s^{-1}}$ a $|\vec{v}|=2\,{\rm m\cdot s^{-1}}$ a můžeme spočítat kosinus odchylky v_1 od v jako $\frac{\frac{1}{2}|\vec{v}|}{|\vec{v_1}|}$ . Teď nevím jestli je to úplně srozumitelné. Je třeba si načrtnout rovnoběžník pro rozklad vektoru.

hfungus · 24. 12. 2011 23:14

pohybují se po puvodni trajektorii..k čemu kosinus? polohovy vektor teziste zustava stejny?..z toho jsem usoudil, ze jedna pulka pude opacnym smerem, jak ta druha.

zdenek1 · 26. 12. 2011 19:53

↑ hfungus:
tři poznámky:
1)

vyslo mi -0.83 a 4.83. je to spatne.

Jak to víš? V mém vydání HRW zrovna u tohoto příkladu není výsledek

2) V odpovědi od ↑ o.neill: je minimálně jedna chyba - a to v rovnici
$m\vec{v}&=m\vec{v_1}+m\vec{v_2}$
protože $m$ na levé straně je 8 kg, zatímco $m$ na pravé jsou 4 kg.
lépe
$2m\vec{v}&=m\vec{v_1}+m\vec{v_2}$

3)

polohovy vektor teziste zustava stejny

Proč? Těžiště se před výbuchem se pohybovalo rychlostí 2 m/s. Z jakého důvodu by se mělo najednou zastavit?

hfungus · 27. 12. 2011 13:50

1) muj vysledek je spatne, protoze to rekl vyucujici:)
2) pochopil sem, ze to ma byt 2*mv = mv1 + mv2
...ze vztahu Ek=1/2mvv je jasne, ze budou rychlosti stejne (kdyz je stejna hmotnost a energie..ze zadani), ale kdyz sou ty rychlosti pak takove, ze po dosazeni do vztahu o zachovani hybnosti to proste nevychazi...co s tim?
V zadani je "kineticka ener. kazde z nich je tesne po vybuchu". Nebude reseni jasne po pochopeni toho "těsně"?

o.neilli nebo zdenku1, prosím, jak je to mysleno s tim kosinem?

mcnarik · 27. 12. 2011 20:32

Ahoj,

1)
Jak je to se zákonem zachování energie? Ve tvém případě musíme uvažovat i energii uvolněnou výbuchem:

$m_{c}=8\text{ } kg$
$v_{c}=2\text{ } m\cdot s^{-1}$
$E_{kc}=\frac{1}{2}\cdot m_{c}\cdot v_{c}^{2}=\frac{1}{2}\cdot8\cdot 2^{2}=16\text{ } J$

$m_{1}=4\text{ } kg$
$m_{2}=4\text{ } kg$
$E_{k1}=E_{k2}=16\text{ }J$

Uvažujme, že původní těleso letí ve výšce 0 metrů, pak platí pro celkovou izolovanou soustavu:
$E_{c}=E_{k}=\text{konst.}=16\text{ }J$

Jenže po výbuchu došlo v soustavě k nárůstu energie (pokud jednotlivé části letí po stejné přímce jako původní těleso):
$E_{c2}=E_{k1}+E_{k2}=16+16=32\text{ }J$

Tzn. došlo k nárůstu kinetické energie vlivem výbuchu...

2)
tvé řešení je dle mého názoru správné. Pokud není, tak napiš co ti řekl vyučující protože to musí být chyba zadání nebo nedorozumění nebo jednotky nebo nějaké jiná "blbost" :)

Zadání:
$m_{c}=8\text{ } kg$
$v_{c}=2\text{ } m\cdot s^{-1}$
$m_{1}=4\text{ } kg$
$m_{2}=4\text{ } kg$
$E_{kc}=E_{k1}=E_{k2}=16\text{ }J$ (viz. bod 1)

Obecně platí, že:
$E_{k}=\frac{1}{2}m\cdot v^{2}\text{ } (J)$

Pro obě části tedy platí:
$E_{k1,2}=\frac{1}{2}m_{1,2}\cdot v_{1,2}^{2}\text{ } (J)$

(Velikosti) rychlostí jednotlivých částí budou tedy vůči původnímu objektu stejné:
$v_{1,2}^{2} = \frac{2\cdot E_{k1,2}}{m_{1,2}}=8\text{ } m\cdot s^{-1}$
$v_{1,2}=2\cdot \sqrt{2}\text{ } m\cdot s^{-1}$

Dále platí:
$m_{c}\cdot \vec{v}_{c} = m_{1}\cdot \vec{v}_{1} + m_{2}\cdot \vec{v}_{2}$
kde $\vec{v}_{1}$ a $\vec{v}_{2}$ jsou rychlosti vztažené vůči soustavě ve které se původní objektu pohyboval, tzn. $|\vec{v}_{1,2}|\not =2\cdot \sqrt{2}$
nýbrž:
$|\vec{v}_{1}|=v_{c}-v_{1}$
$|\vec{v}_{2}|=v_{c}+v_{2}$

Protože se tedy původní objekt pohyboval a my PŘEDPOKLÁDÁME že nastal výbuch ve "středu" objektu při kterém dostali obě části stejný impulz opačného směru a letí po stejné přímce jako původní objekt:
$m_{c}\cdot v_{c} = m_{1}\cdot (v_{c}-v_{1}) + m_{2}\cdot (v_{c}+v_{2})$

Řečí čísel:
$8\cdot 2=4\cdot (2-2\cdot \sqrt{2})+4\cdot (2+2\cdot \sqrt{2})$
$16=8-8\cdot \sqrt{2}+8+8\cdot \sqrt{2}$
$16=16$

Závěr:
Uvažujeme-li velikosti rychlostí jednotlivých částí vůči soustavě ve které se pohyboval původní objekt, pak:
$v_{1}=2-2\cdot \sqrt{2}\doteq -0,83\text{ }m\cdot s^{-1}$
$v_{2}=2+2\cdot \sqrt{2}\doteq +4,83\text{ }m\cdot s^{-1}$

Uvažujeme-li velikosti rychlostí jednotlivých částí vůči původnímu objektu, pak:
$v_{1}=v_{2}=2\cdot \sqrt{2}\text{ }m\cdot s^{-1}$

Vše vychází, kde je tedy podle vyučujícího chyba?

zdenek1 · 28. 12. 2011 00:01

↑ mcnarik:
Takhle by to bylo, kdyby se kinetická energie po výbuchu měřila v soustavě spojené s původním pohybujícím se tělesem. O tom se ale v textu nic neříká, takže já bych očekával, že všechny údaje budou ve stejné soustavě, tj. v soustavě, ve které se pohyboval původní objekt.

hfungus · 07. 01. 2012 14:14

Vyučujícího trápí, že nám zadal tento příklad:-)
Prý moje řešení nejvíc vyhovuje zadání, ale chtěl po mě to druhé.
takže tak, no. děkuji vám za diskuzi.

Matematické Fórum

#1 24. 12. 2011 18:23

energie, hybnost,..

#2 24. 12. 2011 22:45 — Editoval o.neill (24. 12. 2011 22:50)

Re: energie, hybnost,..

#3 24. 12. 2011 23:14

Re: energie, hybnost,..

#4 26. 12. 2011 19:53

Re: energie, hybnost,..

#5 27. 12. 2011 13:50

Re: energie, hybnost,..

#6 27. 12. 2011 20:32

Re: energie, hybnost,..

#7 28. 12. 2011 00:01

Re: energie, hybnost,..

#8 07. 01. 2012 14:14

Re: energie, hybnost,..

Zápatí