Matematické Fórum

Moonchild

Ahoj, mám následující zadání:
"Nalezněte primitivní funkci k funkci g(x) = $\frac{x^{2}+2}{x^{2}-x-2}$ na největším intervalu obsahujícím 0"
Bohužel si s tím nevím rady, tak jsem alespoň spočítal neurčitý integrál: $x+2\ln (x-2) -\ln (x-1)+C$
Mohl by mi někdo prosím poradit, jak najít největší interval obsahující 0? A na tomto intervalu mám poté vypočítat určitý integrál? Děkuji

jardofpr

↑ Moonchild:

ahoj,
prvé čo by si mal urobiť je nájsť definičný obor zadanej funkcie

malo by ti vyjsť zjednotenie troch intervalov
najväčší taký, ktorý obsahuje nulu bude ten z tých troch, ktorý tú nulu obsahuje .. môžeš porozmýšľať prečo

potom si skús zderivovať funkciu ktorú si našiel ako primitívnu k zadaniu a zistíš, že jej derivácia sa tvojmu zadaniu nerovná, čo je trocha zvláštne pre primitívnu funkciu .. zrejme si hneď na začiatku zle rozložil menovateľ na súčin koreňových činiteľov ..
(môžeš si napríklad všimnúť , že tvoja primitívna funkcia nie je definovaná pre žiaden interval obsahujúci nulu, lebo v nule nie je definovaná ani funkcia ln(x-1) ani funkcia ln(x-2) keďže pracuješ zrejme v reálnych číslach a nie v komplexných)

takže to treba integrovať znovu ak chceš tú primitívnu nájsť

posledným tajomstvom je, že v skutočnosti platí

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Moonchild · 08. 01. 2012 12:44

Pořád nějako nemůžu přijít na to, kde jsem udělal chybu a i zpětná derivace mi podle wolframu vychází ( http://www.wolframalpha.com/input/?i=De … %2B1%5D%5D )
Je má chyba pouze v tom, že jsem argumenty logaritmů nenapsal v absolutní hodnotě, nebo je chyba opravdu někde ve výpočtu?

jardofpr

↑ Moonchild:

pravdepodobne si urobil chybu len v tom, že si svoj výsledok zle odpísal sem ;-)

ale okrem toho že si to zrejme rozložil správne, všetko ostatné platí čo som napísal

Moonchild · 08. 01. 2012 14:38

Ano, už to vidím, jen jsem to sem špatně napsal :)
Interval mi vyšel (-1,2), ale jak mám vypočítat určitý integrál na takovém intervalu? Na internetu jsem našel způsob pomocí jednostranných limit , to mi ale vyjde jako $-\infty$ , což se mi moc nezdá. Udělal jsem chybu už při výpočtu intervalu?

jardofpr

↑ Moonchild:

prečo do toho pletieš určitý integrál?????????
1.) ty máš nájsť primitívnu fukciu, NIE ČÍSLO ALEBO HODNOTU
2.) ten spôsob čo si napísal funguje aj tak iba pre ohraničené jednostranné limity, takže ťažko ním spočítaš limitu logaritmu z polynómu pre x ktoré sa blíži k jeho koreňu, z toho bude vždy nekonečno (hoď si graf tej funkcie do wolframu ak si to ešte neurobil)

celé je to tak jednoduché ako som to popísal vyššie (v skrytom texte)
ak si pamätáš rovnice s absolútnou hodnotou tak to nemôže byť pre teba problém
v zmysle toho čo som napísal vyššie
tvoja primitívna funkcia vo všeobecnom tvare je

$F(x) = x + 2 \ln |x-2| - \ln|x+1| + c$ ak som správne počítal

dá sa samozrejme považovať za primitívnu na celom definičnom obore, ten zápis zahŕňa primitívne funkcie pre všetky tri intervaly, a väčšinou to netreba riešiť ďalej

ale keďže od teba chcú konkrétnu partikulárnu funkciu na konkrétnom intervale, pokračuješ

našiel si najväčší interval ktorý obsahuje nulu, $(-1,2)$ a na ňom potrebuješ primitívnu funkciu

JEDINÉ ČO TERAZ MUSÍŠ UROBIŤ JE ZISTIŤ AKO SA NA TOM INTERVALE SPRÁVAJÚ ARGUMENTY TÝCH LOGARITMOV V ABSOLÚTNEJ HODNOTE ..

to som vysvetľoval aj o dva príspevky skôr .
máš tam dva výrazy s absolútnou hodnotou ktoré musíš odstrániť

PAMäTÁŠ SI ZO STREDNEJ ŠKOLY???????????

$x - 2 < 0 \quad \forall x \in (-1,2) \quad \Rightarrow \quad |x-2| = -x + 2 \quad x \in (-1,2)$
$x+1 > 0 \quad \forall x \in (-1,2) \quad \Rightarrow \quad |x + 1| = x + 1 \quad x \in (-1,2)$

takže odpoveď je :

primitívna funkcia k funkcii g(x) na najväčšom intervale, ktorý obsahuje 0 je funkcia

$G(x) = 2 + ln (2-x) - ln (x+1) + c \qquad, x \in (-1,2) \, , \, c \in \mathbb{R}$

no ako teda? je to jasnejšie? :)