Matematické Fórum

trojedav · 08. 01. 2012 17:29

Dobry den,
prosim o radu s nasledujicim integralem.Netusim jak integrovat arctg (x+4).
Graf i meze jsou jasne ...ale to klicove nevim.
Dekuji

Aquabellla · 08. 01. 2012 18:07

↑ trojedav:

Ahoj, zkus metodu per partes.

$u = arctg (x + 4)$ , $u' = \frac{1}{(x + 4)^2 + 1}$
$v = x$ , $v' = 1$

$x \cdot arctg (x + 4) - \int \frac{x}{(x + 4)^2 + 1} dx$ , kde udělej substituci $t = x + 4$

trojedav · 08. 01. 2012 18:33

↑ Aquabellla:

diky...ale presto...po substituci a integraci mi vznikne arctg (x) ..je to tak ? A hlavne po dosazeni mezí skacou dabelsky cisla :( mohla bys to jeste rozvest ? :)
diky :)

Aquabellla

↑ trojedav:

$dt = dx$ , $x = t - 4$
$x \cdot arctg (x + 4) - \int \frac{x}{(x + 4)^2 + 1} dx = x \cdot arctg (x + 4) - \int \frac{t - 4}{t^2 + 1} dx = \nl = x \cdot arctg (x + 4) + 4 \int \frac{1}{t^2 + 1} dx - \int \frac{t}{t^2 + 1} dx =$

substituce u druhého sčítance integrálu: $s = t^2 + 1$ , $ds = 2t dt$
$= x \cdot arctg (x + 4) + 4 arctg t - \int \frac{t}{t^2 + 1} dx = x \cdot arctg (x + 4) + 4 arctg t - \frac12 \int \frac{1}{s} ds = \nl = x \cdot arctg (x + 4) + 4 arctg t - \frac12 ln |s|$

Teď ještě potřeba transformovat meze:
$x_1 = -4$ , $x_2 = -3$
$(t = x + 4)$
$t_1 = 0$ , $t_2 = 1$
$(s = t^2 + 1)$
$s_1 = 1$ , $s_2 = 2$

Aquabellla

$[x \cdot arctg (x + 4)]_{-4}^{-3} = \frac{3\pi}{4}$
$[4 arctg t]_{0}^{1} = \pi$
$[\frac12 ln |s|]_{1}^{2} = \frac{ln 2}{2}$

Teď už to stačí jen posčítat/odečíst.

Matematické Fórum

#1 08. 01. 2012 17:29

Obsah pres urcity integral

#2 08. 01. 2012 18:07

Re: Obsah pres urcity integral

#3 08. 01. 2012 18:33

Re: Obsah pres urcity integral

#4 08. 01. 2012 19:01 — Editoval Aquabellla (08. 01. 2012 19:05)

Re: Obsah pres urcity integral

#5 08. 01. 2012 19:09 — Editoval Aquabellla (08. 01. 2012 19:11)

Re: Obsah pres urcity integral

Zápatí