Matematické Fórum

plisna · 14. 09. 2008 14:27

ahoj, chtel bych se zeptat, jak by jste rozvedli funkci $\frac{\sin z}{z^3}$ do laurentovy rady okolo bodu $z_0 = 0$ . napada me rozepsat sinus do dvou rad jakozto exponencialu, podelit z^3 a vhodne upravit. neexistuje jednodussi a elegantnejsi reseni? diky za odpovedi.

Marian · 14. 09. 2008 15:00 — Editoval Marian (14. 09. 2008 15:06)

↑ plisna:

Platí tato věta:

Lze-li funkci f(z) rozvinout v mezikruží M $r<|z-a|<R$ v řadu tvaru
$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}C_n(z-a)^n,$
pak se jedná o Laurentovu řadu.

Uvaž Maclaurinův rozvoj funkce sin(z) a poděl jej na příslušném mezikruží faktorem z^3. Obdržená řada je Laurentovým rozvojem tvé funkce.

Můžeš použít ale také tuto větu:

Předpokládejme, že funkce f(z) je holomorfní na mezikruží $r<|z-a|<R,\quad 0<r$ . Potom pro libovolný bod tohoto mezikruží platí
$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}C_n(z-a)^n,$
kde koeficienty $C_n$ jsou dány vztahem
$C_n=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{L}\frac{f(t)\mathrm{d}t}{(t-a)^{n+1}},\qquad n\in\mathbb{Z},$
a L je libovolná kružnice ležící v mezikruží $r<|z-a|<R,\quad 0<r$ se středem v bodě z=a. Konvergence řady ja stejnoměrná na celém mezikruží.

Matematické Fórum

#1 14. 09. 2008 14:27

laurentova rada

#2 14. 09. 2008 15:00 — Editoval Marian (14. 09. 2008 15:06)

Re: laurentova rada

Zápatí