Matematické Fórum

Alexandra44441 · 06. 01. 2012 07:57

Potřebovala bych poradit, nejlépe na obrázku, jak vypadá sféra a otevřená koule v prostoru $C(<0,1>)$ - to znamená v prostoru všech spojitých funkcí definovaných na intervalu $<0,1>$ . Děkuji moc.

Alexandra44441 · 06. 01. 2012 08:40

Sorry, zadala jsem to špatně. Správně je, jak vypadá jednotková sféra a jednotková koule na prostoru $C([a,b])$ - na prostoru spojitých funkcí v intervalu a,b. Omlouvám se.

jardofpr

ahoj,

potrebuješ to k nejakému príkladu?

ono ten priestor nie je konečne generovaný takže sa to zrejme nedá nejak uspokojivo (teda presne) nakresliť,
dá sa to vyjadriť ako zápis množiny napríklad, a to nie je až taký zlý spôsob len s tým treba chvíľu pracovať a zamyslieť sa nad tým, k tomu zápisu je ale potrebné sa rozhodnúť ktorá norma sa berie do úvahy, lebo aj to rozhoduje ktoré body na 1-sfére (resp. 1-guli) ležia a ktoré nie ( v tomto priestore sú bodmi spojité funkcie $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ )

pre priestor $C([a,b])$ sa často volí norma $\|f\|_{{}_{\infty}}=\sup_{x \in [a,b]} |f(x)| \, \, ; \forall f \in C([a,b])$
s indukovanou metrikou $\delta (f,g) = \sup_{x \in [a,b]} |f(x)-g(x)|$ ,
ktorá je výhodná z hľadiska toho že tento priestor tvorí s metrikou $\delta$ indukovanou normou $\| \cdot \|_{{}_{\infty}}$ úplný metrický priestor

ak si zoberieš napríklad priestor $\mathbb{R}^{3}$ s normou $\|x\|_{{}_{2}}= \sqrt{\sum_{i=1}^{3}x_{i}^2}$ a indukovanou metrikou $\delta_{{}_{\mathbb{E}}}(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{3}(x_{i}-y_{i})^2}$ , teda klasickou euklidovskou pre $x=[x_{1},x_{2},x_{3}], y=[y_{1},y_{2},y_{3}]$ , tam sa jednotková sféra so stredom v nule definuje ako
$S_{{}_{\mathbb{R}^{3}}}^{{}^{1}} = \{x \in \mathbb{R}^{3} \, ; \delta_{{}_{\mathbb{E}}}(x,0) = 1\}$
teda je to množina všetkých tých bodov v $\mathbb{R}^{3}$ , ktorých vzdialenosť od nuly je 1. ( 0 =[0,0,0] )
Analogicky je to pre priestor na ktorý sa pýtaš, tam je 1-sféra so stredom v nule (tu je nulou konštantná $f(x) \equiv 0$ ) množina
$S_{{}_{C([a,b])}}^{{}^{1}} = \{f \in C([a,b])\, ; \, \delta (f,0) = 1 \} = \{f \in C([a,b]) \, ; \, \|f\|_{{}_{\infty}} = 1\}$

teda na 1-sféru v tomto priestore !!vzhľadom na túto supremovú normu!! patria všetky spojité funkcie na intervale [a,b] , pre ktoré platí, že supremum ich absolútnej hodnoty na intervale [a,b] bude 1.

Pre 1-guľu so stredom v 0 $B_{{}_{C([a,b])}}^{{}^{1}}(0)$ je to potom ten istý princíp:
otvorená $B_{{}_{C([a,b])}}^{{}^{1}}(0) = \{ f \in C([a,b]) \, ; \, \delta (f,0) < 1\} = \{f \in C([a,b]) \, ; \, \|f\|_{{}_{\infty}} < 1\}$
uzavretá $\bar{B}_{{}_{C([a,b])}}^{{}^{1}}(0) = \{f \in C([a,b]) \, ; \, \|f\|_{{}_{\infty}} \le 1 \}= B_{{}_{C([a,b])}}^{{}^{1}}(0) \cup S_{{}_{C([a,b])}}^{{}^{1}}$

Alexandra44441 · 06. 01. 2012 11:45

↑ jardofpr:Super, moc děkuji. Jenom k tomu mám ještě doložit obrázek a právě ten nevím, jak vhodně nakreslit tak, aby byl vyučující spokojený.

jardofpr · 06. 01. 2012 11:53

↑ Alexandra44441:

a to zadanie znie presne ako teda? nakreslite jednotkovú sféru a guľu v priestore C([a,b])???

Alexandra44441 · 06. 01. 2012 11:55

↑ jardofpr:Zadání zní, znázorněte na obrázku a vysvětlete, co znamená jednotková sféra a jednotková koule na již zmíněném prostoru.

jardofpr

uff,

no nakresliť tú guľu alebo sféru by bolo určite nad moje sily :)
ale možno iba chce aby si mu to vysvetlila podobne ako je to o pár príspevkov vyššie a poprípade nakreslila ako vyzerajú samotné tie prvky tak približne, ako priamo vyzerajú tie funkcie ktoré tam patria, ale pochybujem že by myslel niečo čo sa dá nakresliť v nejakom súradnicovom systéme .. ono je už dosť problém (a myslím že stále nevyriešený) nakresliť guľu v priestore čo má dimenziu 4 ..

teda, niekedy (v rámci uľahčenia výkladu na školách) tieto veci kreslia ako normálne euklidovské gule, ale je to len veľmi obrazné

Alexandra44441 · 06. 01. 2012 12:12

↑ jardofpr:No on nechce přesně v souřadném systému, jenom přibližně znázornit, jak by to asi vypadalo, že se tyto funkce nějak nacházejí v tom jednotkovém pásu, ale já nevím, jak to udělat, protože už jsem to dělala jednou a vrátil mi to. Udělala jsem tam jednotkový pás, do něho jsem nakreslila funkci pro kouli která se nedotýkala toho pásu a pak funkci pro sféru která se toho pásu dotýkala (tady už si nejsem jistá, jestli jsem to tak přesně udělala) a teď nevím, jak by to vlastně mělo vypadat, protože mi neřekl, co tam mám špatně. Tak jestli jenom to, že se tá funkce která patřila sféře asi možná nedotýkala toho pásu alespoň v jednom bodě, už fakt si nejsem teď jistá.

jardofpr · 06. 01. 2012 12:21

↑ Alexandra44441:

tak to je milé že nepovedal čo, ak to bolo len preto že sa tá funkcia nedotýkala jednotky tak ešte ok, ale neviem si predstaviť čo iné by mohol chcieť ..

jardofpr

↑ jardofpr:

možno čo by mu na tom mohlo vadiť keby neprešlo to o čom sme hovorili:
(EDITOVANÉ: ale toto nie je riešením tvojej úlohy)
on vám totiž (ak si sem dala celé zadanie) nezadal normu na tom priestore,
a teda ten obrázok nie je presný zo všeobecného hľadiska,
lebo ak by sme si zvolili trebárs Lp-normu,t.j.

$\|f\|_{{}_{p}} = \bigg(\int_{a}^{b}|f(x)|^pdx\bigg)^{1/p}$

potom 1-sféra aj 1-guľa by obsahovali iné funkcie ako tie ktoré majú supremum na [a,b] rovné 1

teda nakreslil by som mu asi obyčajný kruh, obvod by som označil $S^{{}_{1}}$ ,

vnútro by som označil $B_{{}_{1}}$ a vedľa by som napísal

$S^{{}^{1}}_{{}_{ab}} = \{f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} ; \|f\|=1\}$
$B^{{}^{1}}_{{}_{ab}} = \{f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} ; \|f\| < 1\}$

proti tomu už by asi nemohol namietať :)

Alkac · 09. 01. 2012 18:20

Kdyz se nezada norma na C[a,b] tak se automaticky mysli supremova. Nakresli si normalni souradnej system. Na ose x si nakresli interval [0,1], pokud mozno co nejdelsi aby se ti to dobre kreslilo. Do te koule patrej vsechny funkce, ktery maji supremum absolutni hodnoty 1, takze jsou to spojite funkce ktere jsou definovane na tom intervalu a jejich hodnoty lezi na ose y mezi -1 a +1. Par mu jich tam nakresli a napis tenhle popis. Sfera jsou potom ty funkce, ktere maji bud funkcni hodnotu nebo alepson limitu v nejakem bode rovnou bud +1 nebo -1. Takze do koule patri treba konstatni funkce f(x) = 1/2 ale do sfery uz nepatri.

jardofpr · 09. 01. 2012 18:41

↑ Alkac:

všetko čo popisuješ sme riešili už vyššie (treba si prečítať viac príspevkov než ten posledný)
a to že sa myslí suprémová norma keď sa nezadá inak je pravda iba pri riešení príkladov v ktorých sa hodnota normy priamo používa, nie pri teoretických

Alkac · 09. 01. 2012 18:52

Ja jsem to cetl, ale prislo mi ze posledni rada byla, aby nakreslila normalni kruznici a vedle ni napsala definici ty sfery, coz by jako reseni urcite neproslo, tak jsem ji radsi poradil....navic jste tam resili neco ze to nejde nakreslit v souradnym systemu nebo co a ze 4-sfera nejde nakreslit, moc nerozumel v cem mate problem.

C[a,b] je sup norma i v teoretickych prikladech, pokud se nerekne jinak. Alespon jsem to jeste nevidel jinak.

jardofpr

↑ Alkac:

:) asi si to nečítal dosť pozorne:

1.) celý ten príspevok o iných normách a s tým kruhom bol myslený dodatočne, citujem sám seba:
"keby neprešlo to, o čom sme spolu hovorili", to znamená nakreslenie funkcií do jednotkového pásu,
a teda je irelevantný voči pôvodnej debate (pretože napísala už vyššie, že od nich chcú aby to tak urobili, na čo som zabudol lebo som na to reagoval po dlhšej dobe)
2.) neradil som jej aby to nakreslila ako kruh a tie veci okolo,samozrejme že to nie je riešenie tejto úlohy, ale ako by som to urobil ja v prípade, že by tá úloha bola myslená inak, pričom z výkladového hľadiska je možné komplikované štruktúry geometricky interpretovať pomocou jednoduchých euklidovských štruktúr, pomáha to napríklad pri navodení predstavy fungovania projekcie v Hilbertových priestoroch funkcií, to už si určite videl, korektné to nie je, ale nápomocné áno...
3.) tá poznámka k výberu normy mala byť len upresnením tvojej poznámky o tom že sa volí suprémová norma na tom priestore keď nie je zadaná inak, napísal som to samozrejme zle, myslel som to tak, že sa volí len v prípadoch, keď voľba normy priamo ovplyvní výsledok úvahy/výpočtu (aj keď je možné že v tých úlohách ktoré som mal na mysli už nejde o konkrétny priestor, teraz si nie som úplne istý), tak ako to je aj v tomto prípade, takže ako hovorím, len upresnenie, ktoré sa ale zrejme tejto úlohy netýka, lebo tu voľba normy výsledok ovplyvní, takže tvoja poznámka bola samozrejme v tomto prípade k veci (vďaka) a ten príspevok som editoval, aby to nepochopila tak, že by to tak mala urobiť
4.) neriešili sme tam že nejde nakresliť v súradnom systéme 4-sféra, ale sféra v priestore ktorý má dimenziu 4,
ak nevieš aký je medzi týmito vecami rozdiel, doštuduj si (samozrejme ak vieš nakresliť sféru v 4-rozmernom priestore tak to sem uploadni a budeš môj nový kráľ)
5.)okrem toho, to že si nakreslíš v súradnom systéme Ox,Oy nejaký prvok z množiny alebo niekoľko z nich, ešte neznamená že si nakreslil tú množinu, teda, to že nakreslíš pár funkcií ešte neznamená že si nakreslil tú sféru alebo guľu .. v tom je problém s tým kreslením

už si rozumieme? :)

Alexandra44441 · 10. 01. 2012 18:18

↑ jardofpr:Moc děkuji, kluci, dám to nějak dohromady a uvidíme, jestli to projde. Pak sem napíšu info jak to dopadlo, zatím to nebudu označovat za vyřešené.

Alexandra44441 · 23. 01. 2012 18:29

↑ jardofpr: Tak jsem se ted dopátrala k tomu, že tam tá norma nakonec zadaná byla a vypadalo to tedy takto: $\parallel f(x)\parallel_C[a,b]=max|f(x)|$ ,
$x\in [a,b]$

Alexandra44441 · 23. 01. 2012 18:41

↑ Alexandra44441: Ale obrázek jsem stejně neuměla nakreslit, nevím, jak by to mělo vypadat, já si to nějak neumím vůbec představit.

jardofpr · 23. 01. 2012 19:59

↑ Alexandra44441:

no jo, tak potom to bolo to o čom sme písali vyššie, že tam budú všetky funkcie z toho priestoru, ktorých funkčná hodnota je na celom intervale medzi -1 a 1 a v aspoň jednom x z intervalu [a,b] bude rovná 1 alebo -1

Alexandra44441 · 23. 01. 2012 20:04

↑ jardofpr:Já jsem to tak i udělala, teď čekám na jeho reakci a uvidíme, snad to již projde. Moc děkuji.

Matematické Fórum

#1 06. 01. 2012 07:57

Sféra a otevřená koule v prostoru spojitých funkcí

#2 06. 01. 2012 08:40

Re: Sféra a otevřená koule v prostoru spojitých funkcí

#3 06. 01. 2012 08:42 — Editoval jardofpr (06. 01. 2012 11:02)

Re: Sféra a otevřená koule v prostoru spojitých funkcí

#4 06. 01. 2012 11:45

Re: Sféra a otevřená koule v prostoru spojitých funkcí

#5 06. 01. 2012 11:53

Re: Sféra a otevřená koule v prostoru spojitých funkcí

#6 06. 01. 2012 11:55

Re: Sféra a otevřená koule v prostoru spojitých funkcí

#7 06. 01. 2012 12:04 — Editoval jardofpr (06. 01. 2012 12:06)

Re: Sféra a otevřená koule v prostoru spojitých funkcí

#8 06. 01. 2012 12:12

Re: Sféra a otevřená koule v prostoru spojitých funkcí

#9 06. 01. 2012 12:21

Re: Sféra a otevřená koule v prostoru spojitých funkcí

#10 09. 01. 2012 17:46 — Editoval jardofpr (09. 01. 2012 19:54)

Re: Sféra a otevřená koule v prostoru spojitých funkcí

#11 09. 01. 2012 18:20

Re: Sféra a otevřená koule v prostoru spojitých funkcí

#12 09. 01. 2012 18:41

Re: Sféra a otevřená koule v prostoru spojitých funkcí

#13 09. 01. 2012 18:52

Re: Sféra a otevřená koule v prostoru spojitých funkcí

#14 09. 01. 2012 19:31 — Editoval jardofpr (09. 01. 2012 19:58)

Re: Sféra a otevřená koule v prostoru spojitých funkcí

#15 10. 01. 2012 18:18

Re: Sféra a otevřená koule v prostoru spojitých funkcí

#16 23. 01. 2012 18:29

Re: Sféra a otevřená koule v prostoru spojitých funkcí

#17 23. 01. 2012 18:41

Re: Sféra a otevřená koule v prostoru spojitých funkcí

#18 23. 01. 2012 19:59

Re: Sféra a otevřená koule v prostoru spojitých funkcí

#19 23. 01. 2012 20:04

Re: Sféra a otevřená koule v prostoru spojitých funkcí

Zápatí