Matematické Fórum

Ivus21 · 10. 01. 2012 12:51

Potřebovala bych poradit jak pokračovat v tomto příkaldu, zkoušela jsem použít různé vzorce, ale nevychází mi to jak by mělo...

Alkac · 10. 01. 2012 13:18

V tom jmenovateli to neumocnuj na druhou, ale vytkni r a pouzij to, ze soucet druhych mocnin sinu a kosinu je jedna. Pak se ti jeste zkrati jedno r a zbyde mnohem jednodusi limita

Rumburak

Symbol $\lim_{[x,y] \to [0,0]}f(x,y)$ se prostřednictvím substituce $x = r \cos \varphi, y = r \sin \varphi$
převede na ekvivalentní tvar $\lim_{r \to 0+}f( r \cos \varphi, r \sin \varphi)$ .
Speciálně tedy je nutno promítnout substituci i do proměnných parametrisujících samotný operátor $\lim$ .

Další chyba: když $x = r \cos \varphi, y = r \sin \varphi$ , potom $x^2 = r^2 \cos^2 \varphi, y^2 = r^2 \sin^2 \varphi$ ,
ale Tobě vypadla druhá mocnina u $r^2$ . Obdobně při umocňování $x^n$ .

Poznámka:
Zápis $\sin \varphi^2$ by znamenal $\sin (\varphi^2)$ . Zde mělo být $(\sin \varphi)^2$ , což se obvykle píše jako $\sin^2 \varphi$ .
Obdobně pro kosinus.

Ivus21 · 10. 01. 2012 13:48

↑ Alkac: zkoušela jsem to cos mi poradil, ve jmenovateli mi zůstalo jenom r, ale s čitatelem si nevím rady

Alkac · 10. 01. 2012 13:52

No mela bys dat pozor na to jak umocnujes, delas v tom chyby. V citateli mas mit r^n cos...takze ve jmenovateli tu nezbude nic.

A taky by ses mela podivat co ti poradil Rumburak

Rumburak · 10. 01. 2012 13:53

↑ Ivus21:
Máš tam ještě chyby. Přečti si (znovu) můj příspěvek ↑ Rumburak:, doplnil jsem tam ještě pár připomínek
k věcem, které mi předtím unikly.

Ivus21 · 10. 01. 2012 13:58

Takže mi zůstane jen cos^n ? A to právě nevím čemu se rovná

Alkac · 10. 01. 2012 14:10

↑ Ivus21:
Zkus si to napsat cele znova a rovnou pouzivat to co jsme ti poradili. Myslim ze v Rumburakove prispevku mas vsechno co potrebujes, ted jen to spravne pouzit.

Ivus21 · 10. 01. 2012 14:23

Napsala jsem to znovu, takže to má být takhle?

Alkac · 10. 01. 2012 14:46

Az na to posledni rovna se to mas dobre (mela bys jeste psat jednostranou limitu vsude). Nakonci jsi zkratila r^n a r^4 coz nejde, nebo nevim co jsi udelala. Mela bys mit lim r^(n-4) cos^n

Ivus21 · 10. 01. 2012 14:58

jj už to vidím, tak jsem udělala chybu s tím zkrácením, ale čemu se mi to teda rovná? tu limitu počítám v souvislosti se spojitostí, takže podle mě je ta funkce spojitá od n větší než 4, jen nevím co s tím cos^n

Alkac · 10. 01. 2012 15:12

No pro n vetsi nez 4 je ta limita rovna nule

Ivus21 · 10. 01. 2012 15:14

takže cos^n je roven taky nule?

Rumburak · 10. 01. 2012 15:40

↑ Ivus21:

cos^n NENÍ roven nule, ALE:

Po zkrácení zlomku dostaneš funkci $r^{n-4} \cos^n \varphi$ , kde $r \to 0+$ . Číslo n je parametr, na jehož hodnotě bude výsledná limita záviset .

Pro n > 4 využijeme, že $\lim_{r\to 0+}r^{n-4} = 0$ a $\cos^n \varphi$ je omezená, takže podle jisté věty je i $\lim_{r\to 0+}r^{n-4}\cos^n \varphi = 0$ ,
což bude i hodnota původní dvojné limity.

V ostatních případech $\lim_{r\to 0+}r^{n-4}\cos^n \varphi$ závisí na proměnné $\varphi$ . Co to znamená pro původní dvojnou limitu ?