Matematické Fórum

Veronika-veve · 11. 01. 2012 10:08

Ahojte, nevie mi prosim niekto poradit ako na tento priklad? Mam vpisat o kruznice obdlznik s co najvacsim obsahom, pricom polomer kruznice je r>0. Ma vyjst stvorec, cize uz aj to zadanie je nepresne...a navod mam taky, ze rovnica pre kruznicu je $a^{2}+b^{2}=2r^{2}$
kde a je jedna strana obdlznika, b je druha strana a r je polomer. Je to spravny vzorec? Odkial sa vzal? :/
Dakujem!!

Rumburak

↑ Veronika-veve:

Ahoj.

Jsou-li $a, b$ délky sousedních stran obdélníka a $u$ délka jeho úhlopříčky (je jedno které, protože obě dvě jsou stejně dlouhé),
potom z jistého pravoúhlého trojúhelníka a Pythagorovy věty záskáváme $a^{2}+b^{2}=u^{2}$ .

Je-li obdélník vepsán do kružnice, je každá z jeho úhlopříček zároveň průměrem oné kružnice (obrácená Thaletova věta) ,
takže $u = 2r$ , jestliže $r$ je poloměr řečené kružnice. Proto ten vzorec, co uvádíš, není správny, ale potřebuje poopravit na

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Veronika-veve · 11. 01. 2012 10:52

↑ Rumburak:

cize potom mam rovnicu $a^{2}+b^{2}=4r^{2}$ a zaroven rovnicu na obsah utvaru $ab=S$ a ked si z prvej vyjadrim napr. a, dosadim do ab=S. Potom mam ,,funkciu" S iba s jednou premennou b a hladam extremy. Ked S zderivujem a vyratam b, tak $b= (2r^{2})^{1/2}$ a vyjadrim si stranu a. A zistim, ze je to skutocne stvorec v tej kruznici, o jednej strane rovnej $(2r^{2})^{1/2}$ . Ci?
A dakujem velmi pekne, mne sa to nezdalo ta rovnica, nejaka divna bola :)

Rumburak · 11. 01. 2012 11:18

↑ Veronika-veve:
Výpočet je správně.
Také je ale potřeba zdůvodnit, že v nalezeném bodě $b= (2r^{2})^{1/2}$ příslušná funkce skutečně nabývá maxima,
pouhá skutečnost, že derivace funkce v tomto bodě je 0, ke zdůvodnění nestačí.

Veronika-veve · 11. 01. 2012 11:42

↑ Rumburak:
fuu a to ako? Ked si urobim druhu derivaciu funkcie? Tak mi vyjde, ze S"= 4...a ked je druha derviacia kladna, funckia nadobuda minimum....

Cheop · 11. 01. 2012 12:13 — Editoval Cheop (11. 01. 2012 12:13)

↑ Veronika-veve:
Druhá derivace té hledané funkce vyjde:
viz stroj

Rumburak · 11. 01. 2012 12:51

↑ Veronika-veve:

Druhou derivaci není nutno počítat, stačí následující úvaha:
Ta funkce S(b) je nezáporná a spojitá na intervalu [0, 2r] , v jehož každém vnitřním bodě má derivaci.
Maximum funkce na tomto interevalu je nevětší hodnota z čísel S(0), S(2r) , S(w) , kde w jsou body,
v nichž obecně buďto S'(w) = 0 nebo S'(w) neexistuje (takové ale žádné nejsou) . Body 0, 2r započítáváme
proto, poněvadž jde o krajní body intervalu [0, 2r] .

Veronika-veve · 11. 01. 2012 13:01

↑ Cheop:
k tomu som sa dostala, konkretne k $(2 a (a^2-6 r^2))/(4 r^2-a^2)^(3/2)$
potom ale co? dosadim si za a hodnotu, ktora mi vysla ratanim extremu a zistim ze sa to rovna hodnote mensej ako 0, cize tam je maximum...to je ono? a dakujem ;)

Cheop · 11. 01. 2012 13:17

↑ Rumburak:
Tys navrhoval druhou derivaci já jsem jenom reagoval na ↑ Veronika-veve: , že jí ta derivace vychází divně.

Veronika-veve · 11. 01. 2012 13:36

↑ Cheop:

ok, mozeme teda ist na to uvahou alebo 2.derivaciou. Povedme, ze uvaha mi nenapadne na skuske, cize urobim 2.derivaciu. Ta mi uz teda vysla, porovnala som to s wolframalpha. A do nej si dosadim hodnotu extremu a urcim bud maximum ak mi to cele vyjde zaporne alebo minimum, ak je to kladne. Aspon dufam....potom to sedi a dokazem, ze v b rovne $(2r^{2})^{1/2}$ je maximalna hodnota a tesa aj najvacsi obsah. ...

Cheop · 11. 01. 2012 14:38

↑ Veronika-veve:
Ten příklad ještě dořešen není:
Určila jsi, že $a=r\sqrt2$
Teď musíš dopočítat i b tj:
$b^2=4r^2-a^2\\b^2=4r^2-2r^2\\b=r\sqrt 2$
$a=b$ - největší obsah bude mít čtverec ( což je "speciální" obdélník)

Rumburak

↑ Cheop:, ↑ Veronika-veve:

Netvrdím, že jít na to přes druhou derivaci je špatně, i když jsem to nenavrhoval.

Medody založené na derivování (ať již jde o derivaci první či druhou) se zde dají technicky zjednodušit tím, že místo funkce $S(b) = b\cdot \sqrt{4r^2 - b^2}$
budeme vyšetřovat funkci $(S(b))^2 = b^2 (4r^2 - b^2)$ (což je s původní úlohou ekvivalentní, protože S(b) je nezáporná a druhá mocnina je na nezáporné
poloose rostoucí). Dále zde ještě provedeme substituci $b^2 = t \in [0 , 4r^2]$ , takže výsledný tvar funkce, jejíž extrémy na tomto intervalu hledáme, bude
$F(t) := t (4r^2 - t) = -t^2 + 4r^2 t$ , což se derivuje mnohem pohodlněji než původní funkce S(b).

Veronika-veve · 11. 01. 2012 16:25

↑ Rumburak:
Dakujem chalani, pochopila som vsetky rady, vyslo mi to tak ako vravite. Vdaka za pomoc :) dufam, ze bude nieco podobne na skuske, uz to budem vediet :) D!!

Matematické Fórum

#1 11. 01. 2012 10:08

stvorulohnik vpisany do kruznice

#2 11. 01. 2012 10:41 — Editoval Rumburak (11. 01. 2012 10:41)

Re: stvorulohnik vpisany do kruznice

#3 11. 01. 2012 10:52

Re: stvorulohnik vpisany do kruznice

#4 11. 01. 2012 11:18

Re: stvorulohnik vpisany do kruznice

#5 11. 01. 2012 11:42

Re: stvorulohnik vpisany do kruznice

#6 11. 01. 2012 12:13 — Editoval Cheop (11. 01. 2012 12:13)

Re: stvorulohnik vpisany do kruznice

#7 11. 01. 2012 12:51

Re: stvorulohnik vpisany do kruznice

#8 11. 01. 2012 13:01

Re: stvorulohnik vpisany do kruznice

#9 11. 01. 2012 13:17

Re: stvorulohnik vpisany do kruznice

#10 11. 01. 2012 13:36

Re: stvorulohnik vpisany do kruznice

#11 11. 01. 2012 14:38

Re: stvorulohnik vpisany do kruznice

#12 11. 01. 2012 14:44 — Editoval Rumburak (11. 01. 2012 14:54)

Re: stvorulohnik vpisany do kruznice

#13 11. 01. 2012 16:25

Re: stvorulohnik vpisany do kruznice

Zápatí