Matematické Fórum

jrn · 11. 01. 2012 14:42 — Editoval jrn (11. 01. 2012 16:16)

Zdravím.
Můj cíl je dokázat tvrzení, že když je posloupnost divergentní, např. $\lim_{n\to +\infty} a_n = -\infty$ , pak je nutně shora omezená a zdola neomezená.
okolí $H_{-\infty}(\alpha)$ mám definované jako interval $(-\infty ; \alpha)$

Začnu z definice limity, kde zvolím konkrétní levé okolí bodu 1
$(\exists n_0 \in \mathbb{N})(\forall n >n_0)(a_n \in H_{-\infty}(1))$
odkud
$(n > n_0 )(a_n \in H_{-\infty}(1))$
takže můžu volit horní závoru K
$K=max{|a_1|, |a_2|, ... , |a_{n_0}|, 1}$

Naopak, hledám-li dolní závoru, pak z definice plyne
$(\exists n_0 \in \mathbb{N})(\forall n >n_0)(a_n \in H_{-\infty}(\alpha))$
odkud
$a_{n_0 +1}> a_{n_0}$
tedy
$a_{n_0 +1}\in H_{-\infty}(\alpha)$
a proto
$a_{n_0 +1} < \alpha$
takže dolní závora neexistuje.

Je to tvrzení dokázáno správně?
Díky

Rumburak

Ahoj.

Připadá mi, že tím formálním značením $H_{-\infty}(\alpha)$ a pod. se situace poněkud zatemňuje , navíc z dalšího textu usuzuji, že tento symbol měl
znemenat spíše $(-\infty ; \alpha)$ než $(-\infty ; -\alpha)$ .

Pokud předpokládáme

(1) $\lim_{n\to +\infty} a_n = -\infty$ ,

pak první část důkazu máš správně, ale druhou už ne. Jak jsi například zjistil, že $a_{n_0 +1}> a_{n_0}$ ?
To přece (ani obrácený vztah) z (1) nijak neplyne, např. když $a_n = -n$ pro n lichá a $a_n = -4n$ pro n sudá, takže (1) platí, ale

$a_{2k}-a_{2k-1} = -4\cdot 2k + (2k-1)= -6k - 1 < 0$ ,
$a_{2k+1}-a_{2k} = -(2k + 1) + 4\cdot 2k) = 6k-1 > 0$ ,

takže vztahy $a_{n +1}> a_{n}$ , $a_{n +1} < a_{n}$ se pravidelně střídají.
Tvrzení

(2) posloupnost $(a_n)$ je shora omezená a zdola neomezená

za předpokladu (1) platí, ale předpokládáme-li o $(a_n)$ místo (1) pouze divergenci, pak (2) platit nemusí - např. pro $a_n := (-1)^n\cdot n$ .

Nadto posloupnost, která diverguje, klidně může být omezená , např. oscilující posloupnost $(a_n) := ((-1)^n)$ .

jrn · 11. 01. 2012 16:15

↑ Rumburak:
S tím označením okolí máte pravdu, zedituji to. A také jsem byl nepřesný v tom, co dokazuji.
Věta: Má-li realná posloupnost limitu $-\infty$ , pak je shora omezená a zdola neomezená.

A kdybych napsal tohle tak už to platí ?
$|a_{n_0 +1}|> |a_{n_0}|$

Myslím to tak, že každý další člen za $n_0$ - to je spočetně mnoho vyjímek, již musí nutně ležet v alfa- okolí
$H_{-\infty}(\alpha)$
Ale nevím, jak to pořádně dokázat, část o neexistenci dolní závory mi dělá problém, navíc mi to přijde jako zřejmé, když je ta limita $-\infty$
definice omezenosti množiny A je $(\forall a\in A)(\exists K \in \mathbb{R})(a\le K)$ a když K je nekonečno, tak to platí snad pro všechny prvky z A ne?
Poprosil bych ještě o nějakou radu k druhé části důkazu. Děkuji

Rumburak

↑ jrn:

Ani toto $|a_{n_0 +1}|> |a_{n_0}|$ platit nemusí, viz ten můj příklad $a_n = -n$ pro n lichá a $a_n = -4n$ pro n sudá, kde

$(|a_n|) = (1, 8, 3, 16 , 5 , 24, ...)$ ,

tedy jak je vidět, může to být různé.

Takže dokazujme, že posloupnost $(a_n)$ splňující

(1) $\lim_{n\to +\infty} a_n = -\infty$

není zdola omezená (že je omezaná shora už jste dokázal).
V případech, když nemáme nápad, jak pojmout důkaz přímý, často pomůže důkaz sporem. Předpokládejme tedy, že máme posl. $(a_n)$
splňující (1), která zároveň JE zdola omezená - tj. existuje (konečná reálná) konstanta M taková, že

$(\forall n\in \mathbb{N})(a_n > M)$ .

Zkuste odtud odvodit spor s (1). Návod: Vlastnost (1) znamená

(3) $(\forall K\in \mathbb{R})(\exists D > 0) (\forall n \in \mathbb{N})(n > D \Rightarrow a_n < K)$ .

Bude část $(\exists D > 0) (\forall n \in \mathbb{N})(n > D \Rightarrow a_n < K)$ z výroku (3) splněna i tehdy, když zvolíme K < M ?

jrn · 11. 01. 2012 17:08

↑ Rumburak:

když zvolíme K<M , pak z výroku (3) dostáváme a_n < M< K , což je spor s předpokladem že a_n >M.

Tudíž musí být funkce zdola neomezená, správně?

Rumburak · 11. 01. 2012 17:17

↑ jrn:

Ještě to trochu dopním a opravím jeden zřejmý překlep:

když zvolíme K<M , pak z výroku (3) dostáváme: pro každé n > D je a_n < K< M , což je spor s předpokladem že a_n >M.

Ano, toto je hledaný důkaz .

jrn · 11. 01. 2012 17:20

↑ Rumburak:
ajo, to byl překlep.
Děkuji za skvělou pomoc.

Matematické Fórum

#1 11. 01. 2012 14:42 — Editoval jrn (11. 01. 2012 16:16)

důkaz věty o divergentni posl.

#2 11. 01. 2012 15:34 — Editoval Rumburak (11. 01. 2012 15:50)

Re: důkaz věty o divergentni posl.

#3 11. 01. 2012 16:15

Re: důkaz věty o divergentni posl.

#4 11. 01. 2012 16:56 — Editoval Rumburak (11. 01. 2012 17:10)

Re: důkaz věty o divergentni posl.

#5 11. 01. 2012 17:08

Re: důkaz věty o divergentni posl.

#6 11. 01. 2012 17:17

Re: důkaz věty o divergentni posl.

#7 11. 01. 2012 17:20

Re: důkaz věty o divergentni posl.

Zápatí