Matematické Fórum

FlyingMonkey · 11. 01. 2012 20:37

Je dána posloupnost

(n^2+2n+1) posloupnost je nekonečná a se mění po 1 (n=1)

snad je to srozumitelne :)

Rozhodněte, která z čísel 223,289, 361, 1000 jsou členy této posloupnosti.

Tak zkusil jsem si dát prostě n^2+2n+1 = 223, když to bude platit, tak musí nutně být tou posloupností ne?
Bohužel takhle mi to vůbec nevyšlo :D

Díky za pomoc

Hanis · 11. 01. 2012 20:40

Ahoj
Postup máš správný, ještě n musí být přirozené číslo.

FlyingMonkey · 11. 01. 2012 20:49

Ok :)
Takže mám tu rovnost a kam daleko musím dojít? Jelikož to je kvadratická rovnice, tak mi stačí zjistit jestli je diskrimant kladný že? A tedy to bude mít nějaké řešení, tím to je potvrzeno :) Že ano? :)

Díky,
Hezký den

vanok · 11. 01. 2012 20:49

↑ FlyingMonkey:,
V ulohe moze pomoct, ked konstatujes, ze
$(n^2+2n+1)=(n+1)^2$

Hanis · 11. 01. 2012 20:50

↑ FlyingMonkey:
řešením musí býti přirozené číslo

FlyingMonkey · 11. 01. 2012 20:57

Vanok - hmm to popravde nepomaha :))

Hanis - jasne, tomu rozumim, ale nemusim preci k nemu dojit ne?
V zadani po mne chteji jenom zjistit, jestli jsou ta cisla cleny posloupnosti .. Nepotrebuju zjistit, pro jake n nabyvaji te hodnoty ne?

Diky za pomoc :))

Hanis · 11. 01. 2012 21:02

To nepotřebuješ, ale to že je diskriminant kladný znamená, že kořeny existují, ale mohou to být jakákoliv reálná čísla, např odmocnina ze dvou apod...

FlyingMonkey · 11. 01. 2012 21:12

ok then ...

ale v tom případě mi to nevychází :)

protože:

z te rovnice mám : n^2 + 2n - 222 = 0 D = 892
a z toho mi nevyjde určitě přirozené číslo hm?

Díky za pomoc :)

Hanis · 11. 01. 2012 21:13

To že 223 není členem této posloupnosti je zcela korektní řešení.

vanok · 11. 01. 2012 22:33 — Editoval vanok (11. 01. 2012 22:37)

↑ FlyingMonkey:,
Teraz som videl tvoj odkaz,
co som ti napisal:
$(n^2+2n+1)=(n+1)^2$
ti moze velmi pomoct v tejto ulohe
ak urcis ktore z cisiel su stvorcami celeho kladneho cisla ( tabullky , kalkulacka... co je skor jednoduche )

Z tvojho zoznamu, potom mozes povedat ze

223, nie je svores celeho cisla
$289= 17^2$ cize je stvorec cisla 17
$361=19^2$
1000 nie je stvorec celeho cisla.
Cize, vdaka tomuto mozeme povedat ze $289$ a $361$ su cleny danej postupnosti

A dokonca, mozeme aj urcit, pre ake n ( i ked to nie je v otazke)
A na to pouzijeme vyraz ktory urcuje postupnost ako aj znamy vzores $a^2-b^2$
pre $289$ mame:
$(n^2+2n+1)=(n+1)^2=289=17^2$
co nam da
$(n+1)^2-17^2= (n+1+17)(n+1-17)=(n+18)(n-16)=0$
rovnica $(n+18)(n-16)=0$ ma dve riesenia
$n=-18$ toto riesenie nevyhovuje, lebo postupnost je definovana len pre $n>0$
$n=16$ toto riesenie nam ukazuje ze $289$ je 16ty clen danej postupnosti.

Podobne dostaneme ze
$361$ je 18my clen danej postupnosti.

POZNAMKA 1:AK BY SI MAL K DISPOZICII TABULKU DRUHYCH MOCNIN (dostatocne velku) MOHOL BY SI JEDNODUCHYM POROVNANYMY Z TVOJIM ZOZNAMOM NAJST (takto) RIESENIE DANEHO CVICENIA.
POZNAMKA 2: POUZIT RIESENIE Z DISKRIMINANTOM NIE JE PRAVE NAJJEDNODUCHEJSIE RIESENIE, A TAK TI RADIM POUZIT? VZDY KED POZNAS TO CO SA TI ZDA NAJJEDNODUCHSIE.