Matematické Fórum

jendula11 · 11. 01. 2012 21:53

Pěkný večer,

moc bych prosil o pomoc s touto úlohou: Najděte laurentovu řadu funkce $f(z)=\frac{z^{2}+1}{z(z+i)}$ na mezikruží $\frac{1}{2}<|z+i|<1$

Děkuji moc

Alkac · 11. 01. 2012 22:37

Podivej se sem: http://en.wikipedia.org/wiki/Laurent_series

Bud muzes pouzit ten Integralni vzorec, ale to je vetsinou opruz. Pak to muzes rozkladat jako parcialni zlomky a hledat tu radu podle toho kde jsou singularity. Casto je to totozne s Taylorovou radou (pokud se misto do mezikruzi dostanes do kruhu), ale to asi nechces kdyz mas zadane primo mezikruzi.

Parcialni zlomky asi nejlepsi moznost

jendula11 · 12. 01. 2012 13:36

↑ Alkac:

děkuji za radu, nevím jestli jsem tak levý, ale nedaří se mi to rozložit na ty parciální zlomky. Mohl bych poprosit o to rozložení...moooc děkuji.

Alkac · 12. 01. 2012 15:03

(z^2+1)/z(z + i) = (z + i)(z - i)/z(z + i) = (z - i)/z = 1 - i/z a to by mela rovnou byt i ta laurentova rada jestli se nepletu.

Rumburak · 12. 01. 2012 15:59

↑ Alkac:
To, co uvádíš, je Laurentova řada, ale se střadem v bodě 0. Připadá mi, že kolega má nalézt L.ř. se středem v bodě -i
(v němž funkce má odstranitelnou singularitu).

Alkac · 12. 01. 2012 16:05

Jo sorry, mas pravdu

Rumburak · 12. 01. 2012 21:55

↑ jendula11:

Ahoj.

Upravíme:

$f(z)=\frac{z^{2}+1}{z(z+\mathrm{i})} = \frac{z-\mathrm{i}}{z} = 1 -\frac{\mathrm{i}}{z} = 1 -\frac{\mathrm{i}}{(z + \mathrm{i}) - \mathrm{i}}=\\ = 1 -\frac{1}{\mathrm{i}^{-1}(z + \mathrm{i}) - 1} = 1 + \frac{1}{1-g(z)}$ ,

kde $g(z) = \mathrm{i}^{-1}(z + \mathrm{i})$ . Co můžeme udělat se zlomkem $\frac{1}{1-g(z)}$ , když $|g(z)| < 1$ ?