Matematické Fórum

Lukas 22 · 12. 01. 2012 17:09

Ahoj potřeboval bych vypočítat výšky a ůhly pomocí goniometrických funkcí v trojůhelníku ABC s body A[3;7] B[5;-1] C[-3;5].
Nevíte někdo jak bych měl začít??

hfungus · 12. 01. 2012 18:15

uhly: vypocitej velikosti stran (tak, ze si vemes dva zadane body...predstav si obdelnik...ta cisla ze zadani...pomoci pytag. vety to spocitas) a pak viz kosinova veta...tak ziskas uhly.
vysky: $v_{a}= b\sin \gamma =c\sin \beta$

Lukas 22 · 12. 01. 2012 18:37

↑ hfungus:
nemohl bys mi poradit jak začít já opravdu nevím :/

Cheop · 13. 01. 2012 08:56 — Editoval Cheop (13. 01. 2012 14:05)

↑ Lukas 22:
$A=(3;\,7)\\B=(5;\,-1)\\C=(-3;\,5)$

- výpočet délek stran trojúhelníku

$|AB|=\sqrt{(5-3)^2+(-1-7)^2}=\sqrt{68}$
$|AC|=\sqrt{(3+3)^2+(7-5)^2}=\sqrt{40}$
$|BC|=\sqrt{(5+3)^2+(-1-5)^2}=10$

Výpočet úhlů

Kosínová věta:
$|BC|^2=|AB|^2+|AC|^2-2\cdot |AB|\cdot |AC|\cdot\cos\,\alpha\\\cos\,\alpha=\frac{|AB|^2+|AC|^2-|BC|^2}{2\cdot |AB|\cdot |AC|}\\\alpha=\arccos\left(\frac{|AB|^2+|AC|^2-|BC|^2}{2\cdot |AB|\cdot |AC|}\right)$

Až budeš mít vyčíslen kosinus úhlu alfa - urči sinus tohoto úhlu pomocí goniometrické jedničky
a pro určení zbylých dvou úhlů použij sinovou větu ( je jednodušší než kosinová věta)

Sinová věta
$\frac{|BC|}{\sin\,\alpha}=\frac{|AC|}{\sin\,\beta}=\frac{|AB|}{\sin\,\gamma}$

Určení výšek:
1) Určíme rovnici strany
2) Určíme vzdálenost bodu od přímky pomocí známého vzorce (to bude ta výška)

Výpočet výšky v_b
Rovnice strany AC
$\vec{AC}=(3+3;\,7-5)=(6;\,2)=(3;\,1)$ - směrový vektor - z toho uděláme normálový vektor strany
$\vec{s}=(1;\,-3)$
Rovnice strany bude mít rovnici:
$x-3y+c=0$ - dosazením souřadnic bodu A dopočteme c tj:
$1\cdot 3-3\cdot 7+c=0\\c=18$
Rovnice strany AC:
$x-3y+18=0$

Pro vzdálenost bodu X=(x; y) od přímky ax+by+c=0 platí:
$d=\frac{ax+by+c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Vzdálenost bodu B=(5; -1) od přímky x-3y+18=0 ( to je výška na stranu b) bude:
$v_b=\frac{1\cdot 5-3\cdot(-1)+18}{\sqrt{1^2+(-3)^2}}\\v_b=\frac{26}{\sqrt{10}}\,\dot=\,8,22$

Obdobně se vypočítají i zbylé 2 výšky

Mělo by Ti vyjít:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

PS: Osobně si ale myslím, že úhly se měly počítat přes vektory tj. měl by se použít vztah:
$\cos\,\varphi=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec {u}|\cdot |\vec{v}|}=\frac{u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot\sqrt{v_1^2+v_2^2}}$

Matematické Fórum

#1 12. 01. 2012 17:09

Výpočet výšek a ůhlů trojůhelníků

#2 12. 01. 2012 17:29 Příspěvek uživatele marnes byl skryt uživatelem janca361. Důvod: Přesunula jsem do SŠ.

#3 12. 01. 2012 17:36 Příspěvek uživatele Lukas 22 byl skryt uživatelem janca361.

#4 12. 01. 2012 18:15

Re: Výpočet výšek a ůhlů trojůhelníků

#5 12. 01. 2012 18:37

Re: Výpočet výšek a ůhlů trojůhelníků

#6 13. 01. 2012 08:56 — Editoval Cheop (13. 01. 2012 14:05)

Re: Výpočet výšek a ůhlů trojůhelníků

Zápatí