Matematické Fórum

darkmagic · 11. 01. 2012 18:54

Zdravím,
mám lineární zobrazení $l: R ^4\Rightarrow R^3$ dané na prvcích báze:
$l((1,0,0,0)) = (1,1,-1)$
$l((1,-1,0,0)) = (1,0,1)$
$l((1,1,1,0)) = (2,1,0)$
$l((0,0,1,1)) = (4,3,-2)$ .

Mám nalézt matici zobrazení vzhledem k bázím B a S3.
B = {(1,0,0,0),(1,-1,0,0),(1,1,1,0),(0,0,1,1)}
S3 je standartní báze prostoru R3.

Toto je výsledek: $A_{(B, S^3)}^l = \left( \begin{array}{ccc@{\ }r} 1 & 1 & 2& 4 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 0 & -2 \\ \end{array} \right)$
Může mi někdo prosím napsat, jak mám uvažovat, abych toto mohl napsat? (já vidím, že to je vlastně jen přepsané zadání, jde mi o princip)

vanok · 11. 01. 2012 19:40

Ahoj ↑ darkmagic:,
Nevidim kde mas problem.
ak napises napr. $l(1.(1,0,0,0)) = (1,1,-1)$ v maticovej forme,tak to znamena ze v kanonickej baze (f_1,f_2,f_3) priestoru S3 mas
$(1,1,-1)=1.f_1+1.f_2-1.f_3$ a preto prvu stllpec matice je $(1,1,-1)^t$
obraz vektoru bazy... je ...
atd

darkmagic · 11. 01. 2012 23:42

↑ vanok:
Obecně matice A typu (m, n), která splnuje maticovou rovnost $l(b_1), l(b_2), \ldots ,l(b_n) = (c_1, c_2,\ldots ,c_m)\cdot A$ je maticí zobrazení A vzhledem k uspořádaným bázím (B) a (C), kde $B = (b_1, b_2, \ldots ,b_n)$ a $C = (c_1, c_2, \ldots ,c_m)$ .

Rovnice v mém případě vypadá takto:
$((1,1,-1),(1,0,1),(2,1,0),(4,3,-2)) = ((1,0,0,0),(1,-1,0,0),(1,1,1,0),(0,0,1,1))\cdot A$ .

Otázka zní, jak z této rovnosti matici A dostat.

vanok · 12. 01. 2012 00:07

↑ darkmagic:,
No co pises je nepresne... skontrolus si matricovy vyraz jednej lin. aplikacii vdaka maticam ( chyba miestamy traspozicia a vyrazy vektorov v B su cudne)
Akoze ze pracujes "vzhledem k bázím B a S3."
Tak v baze B, tak vektory su vyjadrene v baze B.
tak napriklad vektor (1,-1,0,0) usporiadanej baze B ma je reprezentovany jeho suradnicamy v baze B>>>>cize ma suradnice (0;1;0;0) a nie ako pises v tvojich vyrazoch suradnice v standartnej baze (hovorime aj kanonickej baze) pre R4.

Cize ked opravis vsetki tieto chyby nepozornosti uvidis ze nikde nie je problem.

darkmagic · 12. 01. 2012 00:23

↑ vanok:
Pokuď jde o tu transpozici, tak bych to viděl takto:
$\left( \begin{array}{ccc@{\ }r} l(b_1) \\ l(b_1) \\ \ldots \\ l(b_n) \\ \end{array} \right)= A^T\cdot \left( \begin{array}{ccc@{\ }r} c_1 \\ c_1 \\ \ldots \\ c_m \\ \end{array} \right)$
Je to tak správně?

Nepochopil jsem toto: tak napriklad vektor (1,-1,0,0) usporiadanej baze B ma je reprezentovany jeho suradnicamy v baze B>>>>cize ma suradnice (0;1;0;0) . Můžeš to zkusit říct jinak?

vanok · 12. 01. 2012 00:38

↑ darkmagic:
(jedna chyba) tu treba A a nie transpozovat A. ( ked uz pozres na typy matric musis vidiet ze tam nieco nesedi )
Ta poznamka o suradniciach : ak pracujes v baze B vsetko musi byt vyjadrene podla bazy B....
a ty to nerespektujes.
Tak ako mozes pisat vektor bazy inac ako linearnu komb. vektorov bazy!

idem spat ...dobru noc

darkmagic

↑ vanok:
Dobře, tak A nebude transponovaná (zajímavé je, že výše zmíněné rovnosti jsou obsané ze skript, které tu mám).

Poznámku o souřadnicích jsem snad pochopil, zkusím to aplikovat.

edit:
Já jsem nějako nepřemýšlel o tom, že báze B je vyjádřená vůči stand. bázi; myslel jsem si, že báze B je vyjádřená vůči B.
Potom ten vektor, co jsi zmínil, $(1,-1,0,0)_{S4}$ se vůči bázi B vyjádří tak, že vyřeším tuto soustavu:
$(1,-1,0,0) = \alpha \cdot(1,0,0,0)+\beta (1,-1,0,0)+\gamma (1,1,1,0)+\delta (0,0,1,1)$
Vyjde tedy $(0,1,0,0)_B$ .
Podobně pro zbylé vektory, je to tak?

vanok · 12. 01. 2012 10:36

↑ darkmagic:
Vyborne, tak teraz to uz rozumies....
Pocvic sa aj na jednoduchych prikladoch,napr tyu (2;2) kde sa vsetko lahko vidi...a mozes to sam overit.

darkmagic

↑ vanok:
Vychází mi tedy $\underbrace{\left( \begin{array}{ccc@{\ }r} 1 & 0 & 0& 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)}_{S_4} = A\cdot \underbrace{\left( \begin{array}{ccc@{\ }r} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & 3 & -2 \\ \end{array} \right)}_{Q}$ .
Měl bych tedy vyřešit soustavu $S_4 = A\cdot Q$ .
Pokuď by byla Q regulární, tak bych k našel Q^-1, ale to zde nelze. Jak tedy dál?

edit: opravil jsem matici Q

vanok · 12. 01. 2012 15:19 — Editoval vanok (12. 01. 2012 15:20)

↑ darkmagic:,
To je ozaj velmi prekvapive co pises.
No neviem kde su korene toho tvojho nestandarneho porozumenia lin algebry.
Pre istotu mi posli, tvoje scripta, ak su na webe.
Aj je v nich problem napisem ti... A ak nie napisem co munis asimilovat

darkmagic · 12. 01. 2012 15:52

↑ vanok:
Používá tato skripta: Odkaz.

Matice lin. zobrazení je pod číslem 7.43, případně 7.47 její transponovaná verze.

(editoval jsem můj minulý příspěvěk)

vanok · 12. 01. 2012 20:34 — Editoval vanok (12. 01. 2012 20:41)

↑ darkmagic:,
Tie skripta su dobre...
Cize budes musie seriozne celu tu temu prestudovat.

Opakujem mas maticu $A=A_{(B;S_3)}$
A vyjadris nejaky vektor x (STLPEC ) v baze $B$ typu (4;1)
jebo obraz je vector (stlpec) y vyjadreny v baze $S_3$ typu (1;3)taky ze
$y= Ax$

A vsetko ine co pises o $A$ nema zmysel.

Skor by si mohol studovat jadro a obraz tejto aplikacie....

Vsetko co sa dalo som ti napisal ... tak uz nemozem ani nic ine nove dodat.

darkmagic · 12. 01. 2012 21:33

↑ vanok:
Pokusím se vrátit k tvému prvnímu příspěvku v tomto tématu (možná mně už došlo, jak se to dělá).

Ze zadání znám jak se zobrazí báze $l((1,0,0,0)) = (1,1,-1)$ a požaduji $A_{(B, S_3)}$ .

$(1,1,-1)$ se pak dá napsat vzhledem ke kanonické bázi S3 takto $1\cdot(1,0,0)+1\cdot(0,1,0)-1\cdot(0,0,1)$ .

Protože v definici matice zobrazení vzhledem k uspořádaným bázím (B) a (C) $\left( \begin{array}{ccc@{\ }r} l(b_1) \\ l(b_1) \\ \ldots \\ l(b_n) \\ \end{array} \right)= A^T\cdot \left( \begin{array}{ccc@{\ }r} c_1 \\ c_1 \\ \ldots \\ c_m \\ \end{array} \right)$ je matice A transponovaná, tak zmíněný vektor $(1,1,-1)$ napíšu do sloupce.
Do vedlejších sloupců bych psal zbylé tři vektory báze B.

_____________________________________________________________________________

Pokuď bych měl dělat $A_{(B, D)}$ a D = {(3,7,2),(1,0,3),(0,5,4)}, tak bych v případě $l((1,0,0,0)) = (1,1,-1)$ udělal jěště převod od $(1,1,-1)_{s_3}$ k $(\alpha ,\beta ,\gamma )_D$ tak, že bych vyřešil toto: $(1,1,-1)= \alpha \cdot(3,7,2) + \beta\cdot(1,0,3) + \gamma \cdot(0,5,4)$ .
$(\alpha ,\beta ,\gamma )_D$ bych pak napsal do prvního sloupečku matice A, je to tak správně?

vanok · 12. 01. 2012 22:17

↑ darkmagic:,
Teraz som pozeral tvoje skripta:
to co pises je v sulade z tvojimy skriptamy...
no ak budes citat ine knihy z lin alg. tak znacenia a dohody mozu byt trochu ine.
Ale tvoja uloha bola vysvetlit ako prist k matici A a na to mas odpoved.

darkmagic · 12. 01. 2012 22:22

↑ vanok:
Díky, počáteční úloha je uzavřená.

Můžeš mi jěště nakonec prosím říct, jestli i moje poznámka pod čarou je správná?

vanok · 12. 01. 2012 22:47

↑ darkmagic:,
Ano, prave to je dolezite vediet v akej baze sa pracuje... a potom nemiesat bazy!!!!

darkmagic · 12. 01. 2012 22:48

↑ vanok:
Mockrát ti děkuju, myslím si, že mi to pomohlo.

vanok · 12. 01. 2012 23:00

↑ darkmagic:,
tu je jedna zbierka cviceni...aspon strany ca sa daju vidiet zadarmo
Ak mas chut popozeraj si to trosku....
http://books.google.fr/books?id=bTFT2G2 … mp;f=false

Matematické Fórum

#1 11. 01. 2012 18:54

Matice zobrazení

#2 11. 01. 2012 19:40

Re: Matice zobrazení

#3 11. 01. 2012 23:42

Re: Matice zobrazení

#4 12. 01. 2012 00:07

Re: Matice zobrazení

#5 12. 01. 2012 00:23

Re: Matice zobrazení

#6 12. 01. 2012 00:38

Re: Matice zobrazení

#7 12. 01. 2012 00:45 — Editoval darkmagic (12. 01. 2012 01:07)

Re: Matice zobrazení

#8 12. 01. 2012 10:36

Re: Matice zobrazení

#9 12. 01. 2012 11:09 — Editoval darkmagic (12. 01. 2012 15:31)

Re: Matice zobrazení

#10 12. 01. 2012 15:19 — Editoval vanok (12. 01. 2012 15:20)

Re: Matice zobrazení

#11 12. 01. 2012 15:52

Re: Matice zobrazení

#12 12. 01. 2012 20:34 — Editoval vanok (12. 01. 2012 20:41)

Re: Matice zobrazení

#13 12. 01. 2012 21:33

Re: Matice zobrazení

#14 12. 01. 2012 22:17

Re: Matice zobrazení

#15 12. 01. 2012 22:22

Re: Matice zobrazení

#16 12. 01. 2012 22:47

Re: Matice zobrazení

#17 12. 01. 2012 22:48

Re: Matice zobrazení

#18 12. 01. 2012 23:00

Re: Matice zobrazení

Zápatí