Matematické Fórum

JohnNash · 12. 01. 2012 22:16

Ahoj, jak mám řešit takovouhle rovnici?

$z^{2}+2iz=1+2i$

Díky moc.

Alivendes · 12. 01. 2012 22:26

Je to kvadratická rovnice, proto přes diskriminant.

vanok · 12. 01. 2012 22:27

Ahoj ↑ JohnNash:,
Komplexne cislo z sa da napisat v forme $z=x+iy$ kde x, y su realne cisla.
Nahrad ho v tvojej rovnici a realna a imaginarna cast po vypoctoch ti daju 2 rovnice....
A tie bude treba potom vyriesit.

JohnNash · 12. 01. 2012 22:28

↑ Alivendes:
Spíš mě zajímalo, jak se poprat s komplexním číslem v D.

Alivendes

$z^2+2iz-(1+2i)=0$

$D=b^2-4ac$
$D=(2i)^2+4(1+2i)$
$D=-4+4+8i$
$D=8i$

JohnNash · 12. 01. 2012 22:40

↑ Alivendes:
Nemyslel jsem formální výpočet, spíš jak se to s diskriminatem řeše v případě, že tam je nějaké i.

Alivendes · 12. 01. 2012 22:45

Dobře, můžeme použít buď Moiverovu větu, ale to je v tomhle případě trochu zbytečné:

Uvažuj takhle:

$\sqrt{8i}=a+bi$
$8i=a^2+2iab-b^2$

Porovnáme-li reálné a imaginární části, dostáváme:

$0=a^2-b^2$
$8i=2iab$

$ab=4$
$a^2=b^2$

Je vidět že výsledek bude číslo dvě.

Platí tedy:
$\sqrt{8i}=2+2i$

vanok · 12. 01. 2012 22:50 — Editoval vanok (12. 01. 2012 22:54)

↑ Alivendes:
HMM
naco robit komplikovane, ked je jednoducha (MOJA) metoda...

Na viac na strednej skole sa riesi kvadraticka rovnica len pre realne koeficienty.
Cize pouzivas nieco co nie je dokazane na tej urovni.

Alivendes · 12. 01. 2012 22:52

Poněkud jsi předstihl dobu a znal si kelogův dotaz ještě dříve, než jej položil. :-) Omlouvám se
P.S. Někdy jse lepší to rozepsat přehledně pomocí Texu, když tomu někdo opravdu nerozumí.

vanok · 12. 01. 2012 22:56

↑ Alivendes:
vo dvoch prideme k dokonalemu rieseniu.
Ale ak kolega je spokojny, tak mozeme to nechat ako to je.

Alivendes · 12. 01. 2012 22:59

Ano :-)

Dnes mám dost energie sedět tu až do konce, tak uvidíme.

JohnNash · 12. 01. 2012 23:03

↑ Alivendes:
A pro výpočet kořenů platí již obvyklá pravidla jako v R?

Alivendes · 12. 01. 2012 23:03

Ano

JohnNash · 12. 01. 2012 23:04

děkuji

Alivendes · 12. 01. 2012 23:10

Výborně, třeba dnes půjdem brzy spát :-)

vanok · 12. 01. 2012 23:10 — Editoval vanok (12. 01. 2012 23:16)

Ako sa dostat k tej ... k realnej a imaginarnej casti.
Zacnem male vypocty:
$z=x+iy$
z toho
$z^2=x^2-y^2+i(2xy)$ (lebo $i^2=-1$ )
naviac mame
$2iz=2i(x+iy)=-2y+i(2x)$

A teraz treba to dosadit sem: $z^{2}+2iz=1+2i$
Ze to dokazes ↑ JohnNash:.