Matematické Fórum

Tomas5 · 12. 01. 2012 21:26

Dobrý den, řeším tuto řadu

$\sum_{\text n=1}^{\infty }(1 - \cos \frac{1}{\text n})\text n^{3}$

$\lim_{\text{n}\to\infty }1 - \cos \frac {1}{\text{n}}=0$

$\lim_{\text{n}\to\infty }\sqrt[n]{1 - \cos \frac {1}{\text{n}}}=0$
$1 - \cos \frac {1}{\text{n}}$ konverguje.

Nemůžu přijít na
$\lim_{n\to\infty }(1 - \cos \frac{1}{\text n})\text n^{3}$ vychází mi 0.nekonečno. Znamená to, že limita neexistuje a řada diverguje?

Rumburak · 12. 01. 2012 22:01

↑ Tomas5:

Dobrý večer. Ta limita existuje, doporučoval bych ji spočítat.

Tomas5 · 12. 01. 2012 22:20 — Editoval Tomas5 (12. 01. 2012 23:15)

to asi neplati, co?

Tomas5 · 12. 01. 2012 23:36

řada diverguje?

Rumburak · 13. 01. 2012 11:25

↑ Tomas5:

Tato úprava není dobře. Zkusme jinou:

$\left(1 - \cos \frac{1}{n}\right)n^{3} = \frac{\left(1 + \cos \frac{1}{n}\right)\left(1 - \cos \frac{1}{n}\right)n^{3}}{\left(1 + \cos \frac{1}{n}\right)} = \frac{1 - \cos^2 \frac{1}{n}}{\left(\frac{1}{n}\right)^2} \cdot \frac{n}{1 + \cos \frac{1}{n}}$ .

Jak je to s limitami $\lim_{n \to\infty}\frac{1 - \cos^2 \frac{1}{n}}{\left(\frac{1}{n}\right)^2}$ , $\lim_{n \to\infty}\frac{n}{1 + \cos \frac{1}{n}}$ ?

Tomas5 · 13. 01. 2012 12:36

$\lim_{n \to\infty}\frac{1 - \cos^2 \frac{1}{n}}{\left(\frac{1}{n}\right)^2}=\frac{1}{2}$

$\lim_{n \to\infty}\frac{n}{1 + \cos \frac{1}{n}}=\infty$

$\lim_{n \to\infty}\frac{1 - \cos^2 \frac{1}{n}}{\left(\frac{1}{n}\right)^2}.\frac{n}{1 + \cos \frac{1}{n}}= \frac {1}{2}.\infty=\infty$

rada diverguje, dekuji za pomoc.

Rumburak · 13. 01. 2012 13:42

Ta první limita je mírně jinak:

$\lim_{n \to\infty}\frac{1 - \cos^2 \frac{1}{n}}{\left(\frac{1}{n}\right)^2}=\lim_{n \to\infty}\frac{ \sin^2 \frac{1}{n}}{\left(\frac{1}{n}\right)^2} = \lim_{n \to\infty}\left(\frac{ \sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} \right)^2 = \left( \lim_{x \to 0+}\frac{ \sin x}{x} \right)^2 = 1$ .

Ostatní je správně.

Matematické Fórum

#1 12. 01. 2012 21:26

řada

#2 12. 01. 2012 22:01

Re: řada

#3 12. 01. 2012 22:20 — Editoval Tomas5 (12. 01. 2012 23:15)

Re: řada

#4 12. 01. 2012 23:36

Re: řada

#5 13. 01. 2012 11:25

Re: řada

#6 13. 01. 2012 12:36

Re: řada

#7 13. 01. 2012 13:42

Re: řada

Zápatí