Matematické Fórum

Zeck · 13. 01. 2012 02:26 — Editoval Zeck (13. 01. 2012 03:35)

mam 2 priklady s ktorymi si neviem poradit:
$1.\int_{}^{}\frac{cos x}{\sqrt{sin^2x+4}}dx$
problem je v tom ze mne vychadza vysledok $\ln |\sqrt{\sin ^2x+4}+\sin x| + c$ ale podla MAW to ma byt $\ln (\sqrt{\frac{1}{4}sin^2x+1}+\frac{1}{2}sin x)$
pouzivam vzorec $\int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{x^2+k}} = \ln |x+\sqrt{x^2+k}|+c$ ? je to zle?

$2.\int_{}^{}\frac{1}{x\sqrt{1-4ln^2(x)}}dx = (subst: lnx=t;dx=xdt)=\int_{}^{}\frac{1}{x\sqrt{1-4t^2}}xdt= arcsin 2t+c = arcsin 2lnx+c$ ale vysledok ma byt $\frac{1}{2}arcsin 2lnx+c$

kde je chyba?

vanok · 13. 01. 2012 05:17 — Editoval vanok (13. 01. 2012 05:21)

↑ Zeck:,
1.Mas pravdu a MAW tiez
Oba vysledky sa lisia o len konstantu...

Staci?

Ina metoda : derivuj kazdy vysledok a uvidis ze....

Zeck · 13. 01. 2012 12:03 — Editoval Zeck (13. 01. 2012 12:04)

ale to je mozne aby vysli dva rozdielne a zaroven spravne vysledky? preco je to tak? mozem aj ja dostat taky vysledok aky je v MAW?

Honzc · 13. 01. 2012 13:53 — Editoval Honzc (13. 01. 2012 14:10)

↑ Zeck:
ad1.
Ono totiž platí:
$ln(a\cdot b)=lna+lnb$ nebo také $ln(\frac{a}{b})=lna-lnb$
Takže, když v tom tvém výsledku v ten výraz v logaritmu rozšíříš zlomkem $\frac{2}{2}$
Tak dostaneš:
$\ln |\frac{2}{2}\sqrt{\sin ^2x+4}+\sin x| + c=$
$=\ln |2\sqrt{\frac{\sin ^2x}{4}+1}+\frac{\sin x}{2}| + c=$
$=\ln 2+\ln |\sqrt{\frac{\sin ^2x}{4}+1}+\frac{\sin x}{2}| + c=$
$=\ln |\sqrt{\frac{\sin ^2x}{4}+1}+\frac{\sin x}{2}| + k$ kde $k=\ln 2+c$

ad2.
lepší by bylo dát substituci: $2\ln x=t,dx=\frac{x}{2}dt$
a hned ti to vyjde.

Zeck · 13. 01. 2012 14:57 — Editoval Zeck (13. 01. 2012 15:57)

diky, mohli by ste mi este poradit s tymto?

$3.\int_{}^{}\frac{\mathrm{e}^{arcsin x}+x+1}{\sqrt{1-x^2}}dx$
mne vychadza:
$\mathrm{e}^{arcsin x}-cos(arcsinx)+arsinx +c$
a spravne ma byt:
$\mathrm{e}^{arcsinx}-\sqrt{1-x^2}+arcsinx+c$
mne je jasne ze treba urpavit cos(arcsinx) ale netusim vobec ze ako... :-(

Alkac · 13. 01. 2012 15:08

Jen komentar k tomu, ze vyjdou dva rozdilne, ale spravne vysledky:
1) kdyz je F primitivni fukncke k f, tak G = F + konst je taky primitivni k f, takze vzdy mas nekonecne mnoho vysledku lisicich se o konstantu.
2) casto se ti stane, ze vysledek dostanes v uplne jinym tvaru nez nekdo jiny, nebo nez nejaky software, ale pritom to je oboji dobre, jen to neni na prvni pohled videt, popr se to lisi o tu knostantu, ale ta je v tom nejak "schovana". Vzdy si to muzes overit derivovanim tveho vysledku - musi vyjit ta puvodni funkce

Rumburak

↑ vanok:, ↑ Zeck:, ↑ Honzc:

Ahoj, toto zdůvodnění se ovšem týká pouze úlohy č. 1, ale ne úlohy č. 2, kde kolega ↑ Zeck: opravdu chybu má:
provedeme-li ještě substituci $2t = u$ , dostaneme

$\mathrm{d}t = \frac{1}{2}\,\mathrm{d}u$ a $\int\frac{1}{\sqrt{1-4t^2}}\,\mathrm{d}t= \frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\,\mathrm{d}u = ...$ .

Zeck · 13. 01. 2012 19:30

ok, diky a ten 3.priklad vie mi niekto pomoct?

mikrochip · 13. 01. 2012 19:44

tak tu trojku rozlož na součet tří integrálů

první substituce .... čemu je rovna derivace arcsin x ???...arcsin x = t

druhý subst 1-x^2 = t dx... atd.

třetí je vyloženě "tabulkový"

Rumburak

↑ Zeck:
Ad 3. Především to roztrhni na tři integrály:

$\int\frac{\mathrm{e}^{arcsin x}+x+1}{\sqrt{1-x^2}}dx = \int\frac{\mathrm{e}^{arcsin x}}{\sqrt{1-x^2}}dx + \int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx + \int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$ .

Poslední je tabulkový, v prvém zkus substituci arcsin x = y , ve druhém 1 - x^2 = t .

EDIT. Dodatčně jsem si všiml, že prakticky totéž již napsal kolega ↑ mikrochip:, jemuž se tímto omlouvám.

Zeck · 13. 01. 2012 21:43

och dakujem pekne, ake jednoduche, ja som to nerozdeloval na 3 integraly :))

Honzc · 14. 01. 2012 10:36

↑ Rumburak:
Zdravím,
já vím, že ve druhém příkladu měl kolega chybu. Já jsem mu jenom psal jakou substituci použít aby mu vyšel dobrý výsledek.

Matematické Fórum

#1 13. 01. 2012 02:26 — Editoval Zeck (13. 01. 2012 03:35)

Neurčitý integrál

#2 13. 01. 2012 05:17 — Editoval vanok (13. 01. 2012 05:21)

Re: Neurčitý integrál

#3 13. 01. 2012 12:03 — Editoval Zeck (13. 01. 2012 12:04)

Re: Neurčitý integrál

#4 13. 01. 2012 13:53 — Editoval Honzc (13. 01. 2012 14:10)

Re: Neurčitý integrál

#5 13. 01. 2012 14:57 — Editoval Zeck (13. 01. 2012 15:57)

Re: Neurčitý integrál

#6 13. 01. 2012 15:08

Re: Neurčitý integrál

#7 13. 01. 2012 15:41 — Editoval Rumburak (13. 01. 2012 15:42)

Re: Neurčitý integrál

#8 13. 01. 2012 19:30

Re: Neurčitý integrál

#9 13. 01. 2012 19:44

Re: Neurčitý integrál

#10 13. 01. 2012 21:36 — Editoval Rumburak (13. 01. 2012 21:48)

Re: Neurčitý integrál

#11 13. 01. 2012 21:43

Re: Neurčitý integrál

#12 14. 01. 2012 10:36

Re: Neurčitý integrál

Zápatí