Matematické Fórum

lukaszh · 20. 08. 2008 09:12

Zdravim,
pocitam integral a neviem pokracovat. Napisem ho aj s postupom:

Pravdepodobne sa to potiahne na arkussinus...
Dik.

Marian · 20. 08. 2008 09:26 — Editoval Marian (20. 08. 2008 09:34)

koukni sem - 6. příspěvek (jedná se o jeden postup výpočtu, ale existují minimálně 3).

andrew · 20. 08. 2008 09:26

Zdravim,
v podstate muzes postupovat dvema zpusoby. Prvni - uzitim per partes, druhy - zavedenim substituce x = a sin t.

Richard Tuček

zkuste substituci: $x=a sint; dx=a cost dt; t=arcsin(\frac{x}{a})$
předpokládejme, že $a>0$
$x\in<-a;a>; t\in<-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}>$
Pak integrál přejde na tvar:
$\int\sqrt{a^2-x^2} dx=a\int\sqrt{a^2-a^2sin^2t } cost dt=a^2\int\cos^2t dt$

Dále platí: $cos^2t=\frac{1+cos2t}{2}$
$\int\cos^2t dt =\int\frac{1+cos2t}{2}dt=[\frac{t}{2}+\frac{sin2t}{4}]$

$sin2t=2sint cost=2sint\sqrt{1-sin^2t}$

$\frac{t}{2}+\frac{sin2t}{4}=\frac{1}{2}arcsin(\frac{x}{a})+\frac{x}{2a}\sqrt{1-(\frac{x}{a})^2}$
Výsledek:
$\int\sqrt{a^2-x^2} dx=[\frac{a^2}{2}arcsin(\frac{x}{a})+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}]$

Richard Tuček

integrál $\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^2 }}dx$

lze počítat takto:

$\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^2 }}dx=[arcsinx]_0 ^1=\frac{\pi}{2}$

nebo též takto:

$\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^2 }}dx=\int_{0}^{1} x^{1-1}(1-x^2)^{\frac{1}{2}-1}dx=\frac{1}{2}\ B(\frac{1}{2};\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(1)}=\frac{\pi}{2};$

Použil jsem známý výsledek: $\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$

V obou přípaech jsem dostal stejný výsledek.

Matematické Fórum

#1 20. 08. 2008 09:12

integral

#2 20. 08. 2008 09:26 — Editoval Marian (20. 08. 2008 09:34)

Re: integral

#3 20. 08. 2008 09:26

Re: integral

#4 16. 09. 2008 14:47 — Editoval Richard Tuček (16. 09. 2008 16:00)

Re: integral

#5 17. 09. 2008 15:33 — Editoval Richard Tuček (17. 09. 2008 15:42)

Re: integral

Zápatí