Matematické Fórum

adam25 · 14. 01. 2012 14:13

$\int_{\frac{ds}{x+y}}^{}$

K: usecka AB, A=(a;-a), B=(b,-b), 0<a<b

Prvni jsem si napsal parametricke vyjadreni coz je :

X= a+t(b-a)
Y= -a+t(-b+a)

integrál bude v rozmezi Te<0;1>

ale nevím jak budou vypadat ty derivace, abych mohl vypocitat ds, a spocitat tak celkove ten integral, mohl by mi nekdo pomoci?

jardofpr · 14. 01. 2012 14:49

↑ adam25:

funkcia $\frac{1}{x+y}$ nie je na priamke $y=-x$ definovaná, takže ten integrál zrejme nemá zmysel

adam25 · 14. 01. 2012 14:54

Musi mit smysl, mam k nemu i vysledek, akorat se k nemu chci nejak dopracovat ;-)

jardofpr

↑ adam25:

aký máš k nemu výsledok? a je to teda $\int_{K} \frac{1}{x+y}ds$ ?
ako keď si nájdeš definičný obor tej funkcie $f(x,y) = \frac{1}{x+y}$ tak to bude
$D(f)=\{[x,y] \subset \mathbb{R}^2 \, ; x+y \neq 0\}$ a teda body na úsečke $K$ doňho nebudú patriť

výpočet tohto druhu krivkového integrálu je ekvivalentný s výpočtom obsahu plochy ktorá vznikne pod/nad funkciou pozdĺž krivky .. ťažko tam nejaká plocha bude keď tam tá funkcia neexistuje ...

adam25 · 14. 01. 2012 18:35 — Editoval adam25 (14. 01. 2012 18:37)

Ano je to ten integral, vysledek k nemu je $\frac{\sqrt{2}}{2}ln\frac{b}{a}$

Podle toho tveho def. oboru bych usuzoval ze (x+y) se nebude rovnat nule, ale kdyz bude x=1 a y=2, tak uz to pujde, ta usecka je zadana vseobecne a to dvema body $A=(a;-a) B=(b;-b)$ , navic je tam podminka, ze $0<a<b$ , a z te bych usuzoval ze to je osefovane ;-)

jardofpr · 14. 01. 2012 18:53

↑ adam25:

tak teraz neviem či mne tu niečo ušlo, ale chceš ma teda presvedčiť že takto zadaná úsečka môže obsahovať nejaký taký bod ako je [1,2] hej?

adam25 · 14. 01. 2012 18:57

Sem dal priklad, (1,2) zrovna ani ne, ale reseni to ma ..

jardofpr

↑ adam25:

dobre teda, podľa mňa máš chybné zadanie, alebo chybný výsledok ...
ale ak si presvedčený že existuje na takej úsečke bod [x,y] pre ktorý môže platiť $x+y \neq 0$ ,
tak nájdi konkrétne také $a,b$ a konkrétny bod na tej úsečke ktorý to splní

alebo úplne stačí konkrétna takto zadaná úsečka, ktorá nebude podmnožinou priamky $y=-x$

adam25 · 14. 01. 2012 19:05

jo promin, prehlidl jsem se o radek, ty souradnice bodu jsou $A=(a,a) B=(b,b)$
jeste jednou se omlouvam, jsem fakt osel .. :(

jardofpr

↑ adam25:

:) to je ok, už mi veríš hej? :)

takže potrebuješ myslím novú parametrizáciu teraz ..

adam25 · 14. 01. 2012 19:12

jo jak si to na me napsal tak po lopate, tak jsem sam zjistil ze to je blbost :-))

nova param. rce tedy bude

X= a + t(b-a)
Y= a + t(b-a)

coz me ale stavi do stejne situace, pac nevim jak budou vypadat ty derivace ..

jardofpr

↑ adam25:

no, teraz máš parametrizovanú krivku K pomocou funkcie $\phi:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2 \, , t \mapsto \phi(t) = (\phi_{1}(t),\phi_{2}(t)) = (a+t(b-a),-a+t(-b+a))$

a chceš nájsť vektor $\phi'(t) = (\phi_{1}'(t),\phi_{2}'(t))$

je to jasnejšie? teda je to funkcia od premennej t takže sa bude derivovať podľa t

adam25 · 21. 01. 2012 15:12

Cau, tak jsem zkousel pocitat a porad nic :-)),

mam parametricke vyjadreni
$y=a+t(b-a)$
$x=a+t(b-a)$

a jejich derivace
$y=(b-a)$
$x=(b-a)$

$ds=\sqrt{x^{2}+y^{2}} = \sqrt{(b-a)^{2}+(b-a)^{2}}=\sqrt{2}\sqrt{(b-a)^{2}}$

A nasledny integral pak bude vypadat takhle (od 0 do 1)

$\int_{}^{}\frac{1}{a+t(b-a)+a+t(b-a)}\sqrt{2}\sqrt{(b-a)^{2}}$

tak co delam spatne :-))

jardofpr

↑ adam25:

no, vlastne nič už len potrebuješ ten integrál vypočítať (aj keď je dobrým zvykom v zápise integrálu definovať podľa čoho sa má integrovať)
keď to máličko poupravuješ, bude sa to dať zintegrovať celkom pekne

(mimochodom keby si zvolil šikovnejšiu parametrizáciu, bol by celý príklad na 2 riadky)

Matematické Fórum

#1 14. 01. 2012 14:13

Křivkový integrál I. druhu

#2 14. 01. 2012 14:49

Re: Křivkový integrál I. druhu

#3 14. 01. 2012 14:54

Re: Křivkový integrál I. druhu

#4 14. 01. 2012 17:58 — Editoval jardofpr (14. 01. 2012 18:14)

Re: Křivkový integrál I. druhu

#5 14. 01. 2012 18:35 — Editoval adam25 (14. 01. 2012 18:37)

Re: Křivkový integrál I. druhu

#6 14. 01. 2012 18:53

Re: Křivkový integrál I. druhu

#7 14. 01. 2012 18:57

Re: Křivkový integrál I. druhu

#8 14. 01. 2012 19:00 — Editoval jardofpr (14. 01. 2012 19:02)

Re: Křivkový integrál I. druhu

#9 14. 01. 2012 19:05

Re: Křivkový integrál I. druhu

#10 14. 01. 2012 19:06 — Editoval jardofpr (14. 01. 2012 19:08)

Re: Křivkový integrál I. druhu

#11 14. 01. 2012 19:12

Re: Křivkový integrál I. druhu

#12 14. 01. 2012 19:18 — Editoval jardofpr (14. 01. 2012 19:20)

Re: Křivkový integrál I. druhu

#13 21. 01. 2012 15:12

Re: Křivkový integrál I. druhu

#14 23. 01. 2012 00:19 — Editoval jardofpr (23. 01. 2012 00:22)

Re: Křivkový integrál I. druhu

#15 23. 01. 2012 13:07 Příspěvek uživatele real estate training B byl skryt uživatelem jelena. Důvod: spam

Zápatí