Matematické Fórum

hujik · 14. 01. 2012 10:18

Dobrý den.

Chtěl bych poprosit o pomoc s následujici úlohou:

Nechť $M\subset \mathbb{R}^{n}$ je konvexní a kompaktní množina a H je její opěrná nadrovina. Ukažte, že když H obsahuje pouze jeden bod hranice množiny M, označme jej x, pak $H\cap M=\{x\}$ .

Je to můj první příspěvek, tak nevím, jak moc má být rozsáhlý pokus o mé vlastní řešení. Nicméně řekl bych, že se pravděpodobně bude jednat o důkaz na pár řádek, vedený sporem proložením nadroviny bodem x a bodem $y\in [int(M)\cap H]$ , což by mělo vést ke sporu, že x není jediný bod z průniku H a hranice M. Tohle se mi ale, když dám dohromady definice a charakterizace opěrné nadroviny, hranice nmožiny a kompaktu, nedaří formálně ukázat, nevím ale, jestli proto, že mě jen nenapadá nějaký mezikrok, nebo proto, že je důkaz veden špatným směrem.

Předem děkuji za pomoc.

vanok · 14. 01. 2012 10:56

Ahoj ↑ hujik:,
Neda sa tu vyuzit, ze
Ak K je convexny, $x;y \in K$ , tak $[x;y] \subset K$

hujik · 14. 01. 2012 11:27

A můžu se zeptat, co značíte [x;y]?

Pokud se jedná o množinu $\{\lambda x+(1-\lambda )y; \lambda \in (0;1)\}$ , pak toho nepochybně využít musím, protože se víceméně jedná o definici konvexní množiny a není až tak složité si představit protipříklad, proč obdobné tvrzení neplatí pro množinu, která není konvexní. Problém je, že nemůžu přijít na to, jak toho využít..

vanok · 14. 01. 2012 11:43

↑ hujik:,
Je to uzavreta usecka, medzi x a y.
( rozdiel z tym co pises je su tam aj body x a y)

Aka je presne otazka co mas riesit?

Co mozes povedat o opernej nadrovine?
Je konvexna?
Ak ano preco? a ak nie preco?

hujik · 14. 01. 2012 13:35

Nejdříve bych odpověděl na poslední otázku, opěrná nadrovina konvexní je, neboť:

Volme $a,b\in \{z\in \mathbb{R}^{n};\gamma ^{T}z=const\}, \lambda \in (0;1)$ . Uvažujme bod $c:=\lambda a+(1-\lambda )b$ . Odtud ale máme $\gamma ^{T}c=\lambda \gamma ^{T}a+(1-\lambda)\gamma ^{T}b=\lambda const+const-\lambda const=const$ . Tedy také $c\in \{z\in \mathbb{R}^{n};\gamma ^{T}z=const\}$ .

Snad je to takhle správně. Co se týká původního tvrzení, chci ukázat, že bod z int(M) nemůže náležet opěrné nadrovině, jinými slovy:

Je-li $\gamma$ normálový vektor v bodě x, pak platí nerovnost $\gamma ^{T}y>\gamma ^{T}x$ . To se mi ale pořád nedaří.

vanok · 14. 01. 2012 14:01

↑ hujik:,
Tento problem je zavisly na definciach co vam dal vas profesor.

Cize jedina otazka, a ta nam da odpoved, je ako vam bola definovana operna nadrovina H.
(iste ide o definiciu tohto typu: nadrovina H deli priestor na dve casti a H je operna z M (convexny) ak ma spolocne s nim len hranicne body a (pochopitelne ) je len v jednej z casti priestoru urceneho nadrovinou H.)
Tak napis tu definiciu, aby si mohol potom napredovat.

hujik · 14. 01. 2012 14:28

Nejdříve dokázal větu o opěrné nadrovině, tedy:

Nechť $K\subset \mathbb{R}^{n}$ je neprázdná konvexní množina a y je bod její hranice. Potom $\exists \gamma \in \mathbb{R}^{n}$ nenulové takové, že $inf\{\gamma ^{T}x;x\in K\}\ge \gamma ^{T}y$ .

A následně definoval:

Geometricky předcházející věta říka, že existuje nadrovina $L=\{x\in \mathbb{R}^{n};\gamma ^{T}x=c\}$ a jí určený uzavřený poloprostor $H=\{x\in \mathbb{R}^{n};\gamma ^{T}x\ge c\}$ tak, že $y\in [L\cap clo(K)]$ a $K\subset H$ . Takovéto nadrovině říkáme opěrná nadrovina množiny K v bodě y.

vanok · 14. 01. 2012 14:41

Vyborne, v podstate je to iste co som napisal.
POZOR V cviceni pises ze H je nadrovina ( a v definici je to L )
Ta veta co qste dokazali dovoli definovat opernu nadmnozinu, ako aj polopriestor, kde je ten konvex K
AK je rovnost...ide o hranicne body
lebo splnuju rovnicu nadroviny

Ako si poznamenal ze nadrovina je tiez konvexna
tak aj prienik.
A tak to musi byt $\{x \}$

hujik · 14. 01. 2012 15:32

Ano, s tímhle vším samozřejmě souhlasím, ale ten na začátku zmiňovaný mezikrok, který se mi celou dobu nedařil formálně dokázat, je právě jedno z vašich tvrzení. Intuitivně je to zřejmé, nicméně mohl bych se tedy ještě zeptat na formální odvození, proč platí tvrzení:

Pro $x,y\in K$ , x je z hranice K, a pro $\gamma$ normálový vektor k ploše hranice množiny K v bodě x se skalární součiny $\gamma ^{T}x$ a $\gamma ^{T}y$ rovnají právě tehdy, když y je také hraniční bod množiny K.

vanok · 14. 01. 2012 19:24

↑ hujik:,

Len male myslienky:
$\gamma ^{T}x=\gamma ^{T}y$
znamena
$\gamma ^{T}x-\gamma ^{T}y=0$
a este
$\gamma ^{T}(x-y)=0$

a to znamena $x-y$ a $\gamma$ su siortogonalne

hujik · 14. 01. 2012 21:14

Ale tenhle závěr mi přijde v podstatě ekvivalentní s tím, že $\gamma$ je normálový vektor, což byl předpoklad tohoto tvrzení. Takže ačkoli je tvrzení o ortogonalitě nepochybně pravdivé, tak si sice začínám připadat pěkně natvrdle, ale nějak nevidím, jak mě toto posunulo byť jen o kousek blíže důkazu zmíněného tvrzení. Tento důkaz se podle mě musí opírat především o konvexitu množiny K..

vanok · 14. 01. 2012 21:20

↑ hujik:,
Mozno niekto iny najde lepsie argumenty.
Ja nemam zatial ine.

hujik · 14. 01. 2012 21:22

Tak se nedá nic dělat, děkuji Vám moc za celodenní snažení.

hujik · 15. 01. 2012 11:00

Nevěděl by, prosím, někdo jiný, jak poslední tvrzení formálně dokázat? Opravdu bych to potřeboval udělat..

Pro přehlednost ho sem ještě jednou přepíšu a uvedu silnější předpoklady a slabší tvrzení tak, aby to stále stačilo k dokázání původní úlohy, ale přitom bylo toto tvrzení co nejjednodušší:

Nechť $K\subset \mathbb{R}^{n}$ je konvexní a kompaktní množina, $y\in K, x\in [\overline{K}\setminus K]$ , $\gamma$ je normálový vektor plochy množiny $[\overline{K}\setminus K]$ v bodě x. A nechť $\gamma ^{T}x=\gamma ^{T}y$ . Potom platí $y\in [\overline{K}\setminus K]$ .

Matematické Fórum

#1 14. 01. 2012 10:18

Opěrná nadrovina

#2 14. 01. 2012 10:56

Re: Opěrná nadrovina

#3 14. 01. 2012 11:27

Re: Opěrná nadrovina

#4 14. 01. 2012 11:43

Re: Opěrná nadrovina

#5 14. 01. 2012 13:35

Re: Opěrná nadrovina

#6 14. 01. 2012 14:01

Re: Opěrná nadrovina

#7 14. 01. 2012 14:28

Re: Opěrná nadrovina

#8 14. 01. 2012 14:41

Re: Opěrná nadrovina

#9 14. 01. 2012 15:32

Re: Opěrná nadrovina

#10 14. 01. 2012 19:24

Re: Opěrná nadrovina

#11 14. 01. 2012 21:14

Re: Opěrná nadrovina

#12 14. 01. 2012 21:20

Re: Opěrná nadrovina

#13 14. 01. 2012 21:22

Re: Opěrná nadrovina

#14 15. 01. 2012 11:00

Re: Opěrná nadrovina

Zápatí