Matematické Fórum

Prochycz · 15. 01. 2012 01:27

Zdravim,
mám $v(x)=x\cdot ms^{-1}$ .
Vim, že $v(t)=\frac{dx}{dt}$ , ale bohužel nemůžu příjít na to, cím to rozšířit, aby mi tam zůstalo x(t). Musím jinak získat dále tyto proměnný: $v(t), a(t)$

Pavel Brožek

Tohle je trochu matoucí (i když se to tak ve fyzice často píše) – v(x) a v(t) jsou totiž dvě různé funkce (když do v(x) dosadíš za x třeba dvojku, dostaneš jiné číslo než když dosadíš do v(t) za t dvojku). Označme si radši funkci popisující závislost rychlosti na čase $v$ a funkci popisující závislost rychlosti na x jako $V$ . Pak určitě v každém čase t platí

$v(t)=V(x(t))$

Ze zadání hledáme takovou funkci, která splňuje

$V(x(t))=x(t)$

Když to dám dohromady, tak dostanu rovnici

$v(t)=x(t).$

Protože platí (to je definice rychlosti), že $v(t)=\frac{\d x(t)}{\d t}$ , tak dostanu diferenciální rovnici

$\frac{\d x(t)}{\d t}=x(t).$

Tu už určitě umíš vyřešit.

Pozn.: pokud chceš řešit jednotky, tak je máš v zadání špatně – na pravé straně rovnice $v(x)=x\cdot ms^{-1}$ je celkově $\mathrm{m}^2\mathrm{s}^{-1}$ , což není jednotka rychlosti. Správně bychom měli psát pravou stranu třeba jako $cx$ , kde $c=1\,\mathrm{s}^{-1}$ .

Prochycz · 15. 01. 2012 12:15

Děkuji za odpověď
Nějak nerozumim této rovnici:
$v(t)=x(t)$
Jaktože se rychlost závislá na čase rovná dráze závislé na čase? Není to přece nesmysl?

Pavel Brožek · 15. 01. 2012 12:30

↑ Prochycz:

Kdybychom to měli napsat správně s jednotkami, tak by to vypadalo $v(t)=x(t)\cdot\mathrm{s}^{-1}$ .

Zapomeňme v tuto chvíli na jednotky, ty nejsou příliš podstatné (dají se do všech uvedených rovnic snadno doplnit, aby to bylo úplně korektní). Rovnice $v(t)=x(t)$ pak prostě říká, že pokud např. v čase 1 bude poloha 5, tak i rychlost bude 5. Tedy že v každém bodě je funkce $x(t)$ rovna své derivaci.

Prochycz · 15. 01. 2012 12:39

Jasný děkuji. Jen pro jistotu ta diferenciální rovnice by se vyřešila následovně?
$\frac{dx}{x}=dt\nl\int_{x_0}^{x}\frac{dx}{x}=\int_{0}^{t}dt\nlln x-lnx_0=t\nlx=x_0e^{t}$

Pavel Brožek · 15. 01. 2012 12:45

↑ Prochycz:

Ano.

Prochycz · 15. 01. 2012 12:57

Ok děkuji vám za Váš čas a pomoc.

Prochycz

Tak měl bych tu teda ještě jeden problém. Protože pro $v(t),a(t)$ mi vychází to samé je to možné?
$x=x_0e^t\nlv(t)=\frac{dx}{dt}=\frac{x_0e^t}{dt}=x_0e^t$ a to samé analogicky pro $a(t)$ . Myslim si, že asi někde dělám chybu jen nevim kde.

Pavel Brožek · 17. 01. 2012 20:00

↑ Prochycz:

Neděláš, je to podle mě dobře :-).

Matematické Fórum

#1 15. 01. 2012 01:27

Jak zjistit dráhu z rychlosti, která je závislá na dráze

#2 15. 01. 2012 01:54 — Editoval Pavel Brožek (15. 01. 2012 02:00)

Re: Jak zjistit dráhu z rychlosti, která je závislá na dráze

#3 15. 01. 2012 12:15

Re: Jak zjistit dráhu z rychlosti, která je závislá na dráze

#4 15. 01. 2012 12:30

Re: Jak zjistit dráhu z rychlosti, která je závislá na dráze

#5 15. 01. 2012 12:39

Re: Jak zjistit dráhu z rychlosti, která je závislá na dráze

#6 15. 01. 2012 12:45

Re: Jak zjistit dráhu z rychlosti, která je závislá na dráze

#7 15. 01. 2012 12:57

Re: Jak zjistit dráhu z rychlosti, která je závislá na dráze

#8 17. 01. 2012 17:31 — Editoval Prochycz (17. 01. 2012 19:16)

Re: Jak zjistit dráhu z rychlosti, která je závislá na dráze

#9 17. 01. 2012 20:00

Re: Jak zjistit dráhu z rychlosti, která je závislá na dráze

Zápatí