Matematické Fórum

zuzik1 · 14. 01. 2012 17:21

Ahoj zasekla jsem u příkladu a nemůžu se sním pohnout.

Zadání je:
Vypočítejte partikulární řešení diferenční rovnice
$y(n+2)+4y(n)=(-2)^n\sin \frac{n\pi }{2}$

Vypočítala jsem homogení úlohu
$y(n+2)+4y(n)=0$

charakteristické kořeny mi vyšly
$\lambda ^2+4=0\Rightarrow \lambda _{1,2}=\pm 2i$

mno a nevím jak to dál mám řešit. Vím, že se to převádí na polární souřednice do nějakýho takovýhleho tvaru $\lambda_1=\alpha +i\beta$ a $\lambda_2=\alpha -i\beta$
a obecné řešení má tvar $x(n)=c_1(\alpha +i\beta )^n+c_2(\alpha -i\beta )^n$ a $\alpha =r\cos \Theta$ , $\alpha =r\sin \Theta$ , $r=\sqrt{\alpha ^2+\beta ^2}$ a $\Theta =arctg\frac\beta \alpha$

Ale nevím jak tyhle informace aplikovat na můj výpočet.

Děkuji za pomoc

vanok · 14. 01. 2012 22:43 — Editoval vanok (14. 01. 2012 22:45)

Ahoj ↑ jardofpr:,
Urobil si skusku?
Napriklad $y_n=2^n\sin \frac {n\pi}2$ je riesenie homogennej rovnice.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Poznamka: Zatial nevidim partikuliarne riesenie celej rovnice.

jardofpr

ahoj ↑ vanok:
neurobil, a preto som si nevšimol že píšem hlúposti :)
teda opravný návrh by bol:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

lepšie? :)

potom partikulárne riešenie by mohlo byť napríklad

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

zuzik1 · 15. 01. 2012 11:08

Děkuji moc :-)

vanok · 15. 01. 2012 13:11 — Editoval vanok (15. 01. 2012 13:13)

↑ jardofpr:,
Homogennu to mas dobre.
A partikulierne riesenie to nesedi...

Taka mala poznamka:
$\sin(\frac{n\pi}2) \in \{-1;0;1\}:n \in \mathbb{Z}$
a tak sa mozno da hladat aj bez pomoci $\sin$

jardofpr · 15. 01. 2012 15:26

↑ vanok:

teda, to či je partikulárne riešenie skutočne riešením sa overuje inak ako že sa dosadí do rovnice či sedí?
alebo je tu niekde chybný krok? (alebo neplatí niektorá rovnosť?)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 15. 01. 2012 16:01

↑ jardofpr:,

Mas pravdu, je to v poriadku.

Ja som mal nieco komplikovane... teraz som to zjednodusil:
$y_{p}(n) = $n(-2)^{n-3}-2^n$ \sin{\frac{n\pi}{2}}$ a naviac sa mi to moje nezdalo dost esteticke...
a tak skusal som hladat to riesenie vdaka rozvojom operatora $( 1 + {\triangle }^2)^{-1}$ ... a zatial mi to stale niekde viazne. (Chcem este najst knihu,Milne-Thomson:FINITE DIFFERENCE, kde sa mi zda, ze sa tam o takych metodach pise, ale zatial som na internete nic nenasiel, az na Amazon ...)

Ale tvoje riesenie je o mnoho krajsie a jednoduchsie, ako to co chcem najst.

jardofpr

↑ vanok:

tú metódu popravde nepoznám .. má ten operátor nejaký názov?

(inak, nemohol by si sa k estetickejšiemu partikulárnemu riešeniu dostať pričítaním všeobecného riešenia s vhodným výberom koeficientov $c_{1},c_{2}$ ?)

vanok · 15. 01. 2012 18:09

↑ jardofpr:,
MOHOL, ale teraz ma zaujimaju tie rozvoje operatorov.
A na koniec ty si to vyriesil tak pokracujeme z inymy veciamy.

V tomto probleme mozno ako chcela kolegina je mozne dat do suladu tvoje riesenie presne z tym co chcela... ale to moze iste aj sama urobit.

Tak dobre pokracovanie.

Matematické Fórum

#1 14. 01. 2012 17:21

Diferenční rovnice

#2 14. 01. 2012 21:43 — Editoval jardofpr (14. 01. 2012 21:44) Příspěvek uživatele jardofpr byl skryt uživatelem jardofpr.

#3 14. 01. 2012 22:43 — Editoval vanok (14. 01. 2012 22:45)

Re: Diferenční rovnice

#4 15. 01. 2012 05:34 — Editoval jardofpr (15. 01. 2012 06:03)

Re: Diferenční rovnice

#5 15. 01. 2012 11:08

Re: Diferenční rovnice

#6 15. 01. 2012 13:11 — Editoval vanok (15. 01. 2012 13:13)

Re: Diferenční rovnice

#7 15. 01. 2012 15:26

Re: Diferenční rovnice

#8 15. 01. 2012 16:01

Re: Diferenční rovnice

#9 15. 01. 2012 17:25 — Editoval jardofpr (15. 01. 2012 17:51)

Re: Diferenční rovnice

#10 15. 01. 2012 18:09

Re: Diferenční rovnice

Zápatí