Matematické Fórum

Prochycz

Zdravim,
mám následující řadu:
$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{2n}\cdot(x-2)^n}{3^{(n+1)}}$
Pomocí podílového kritéria jsem zjistil:
$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{4}{3}|x-2|$
Takže $R=\frac{11}{4}, a=2$ , z toho sem vyvodil $I^*=(a-R,a+R)=(\frac{-3}{4},\frac{19}{4})$
$\frac{4}{3}|x-2|$
Zaprvé bych se chtěl zeptat, jest-li to je správně a zadruhé, taky to, jak přijdu na to, jest-li krajní body do oboru patří nebo ne? Děkuji za odpověď

jardofpr

↑ Prochycz:
zdravím,
výraz $(x-2)^n$ v tej limite zrejme nemá čo robiť

tvoj rad je $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{2n}}{3^{n+1}}(x-2)^n =\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-2)^n$

teda $a_{n}=\frac{2^{2n}}{3^{n+1}}$ a limitu počítaš $\lim_{n \to \infty} \bigg|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\bigg|=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{2^{2(n+1)}}{3^{n+2}}}{\frac{2^{2n}}{3^{n+1}}}$

na to či patria krajné body intervalu do oboru konvergencie prijdeš tak, že ich jednoducho dosadíš za x a zistíš ako sa ten rad správa pre ten konkrétny krajný bod
ak bude konvergovať v krajnom bode, krajný bod tam patrí, inak nie

Prochycz

Aha, takže když mi vyjde
$\lim_{n \to \infty} \bigg|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\bigg|=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{2^{2(n+1)}}{3^{n+2}}}{\frac{2^{2n}}{3^{n+1}}} =\frac{4}{3}$
Nejsem si teď jistej, jak zjistim poloměr, ale mělo by to být takhle: $\frac{4}{3}R=1\nlR=\frac{3}{4}$ Mám pravdu?
Tak a teď $I^*=(\frac{5}{4},\frac{11}{4})$ .
Tak teď tedy dosadim do sumy.
$1) x=\frac{5}{4}\nl\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{2n}(\frac{5}{4}-2)^{n}}{3^{n+1}}\nl2)x=\frac{11}{4}\nl\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{2n}(\frac{11}{4}-2)^{n}}{3^{n+1}}$
Ani jedna suma nekonverguje, to znamená, že konečný interval bude $I^*=(\frac{5}{4},\frac{11}{4})$
Děkuji za pomoc.