Matematické Fórum

Ryco · 15. 01. 2012 14:12

Zadání:
Dokažte matematickou indukcí, že číslo $n^{3}-n$ je dělitelné 6ti, pro každě přirozené n.

Řešení:
pro každé přirozené číslo n => n>0
číslo je dělitelné 6ti, právě tehdy, když je dělitelné 2mi a 3ma zároveň

Indukční základ:
$n=1\gg n^{3}-n=1^{3}-1=0\gg 0:3=0\wedge 0:2=0$
$n=3\gg n^{3}-n=3^{3}-3=24\gg 24:3=8\wedge 24:2=12$
$n=6\gg n^{3}-n=6^{3}-6=210\gg 210:3=70\wedge 210:2=105$
Indukční základ platí

Indukční krok: $V(n)\rightarrow V(n+1)$

Indukční předpoklad:
$(n+1)^{3}-(n+1)\Rightarrow mod3\wedge mod2=0$
$n^{3}+3n^{2}+3n+1-n-1\Rightarrow mod3\wedge mod2=0$
$[(n^{3}-n)+(3n^{2}+3n)]\Rightarrow mod3\wedge mod2=0$

Potřeboval bych prosím poradit jestli postupuju dobře, popřípadně jak postupovat dál, víc si nevím rady :(

jardofpr

↑ Ryco:

povedal by som, že to vidíš príliš komplikovane ..
zmysel dôkazu indukciou tvrdenia typu "dokážte pre všetky prirodzené n" alebo "pre všetky prirodzené n>=m" kde m je nejaké konkrétne prirodzené číslo je v tom, že
1.) dokážeš že výrok platí pre n=1 (v prípade že máš dolnú hranicu dokážeš že platí výrok pre n=m)
2.) z predpokladu že výrok platí pre prirodzené číslo k vyvodíš že platí aj pre o jedno väčšie, pričom
ten predpoklad je pri tom často veľmi užitočný
tým máš platnosť výroku dokázanú pre všetky n ktoré spĺňajú zadanie, lebo keď si zvolíš ľubovoľné n prirodzené,
z 1.) vieš že pre najmenšie to platí a z 2.) vieš že to platí pre o jedno väčšie, ale potom to zasa platí pre o jedno väčšie, atď až sa dostaneš k ľubovoľnému n prirodzenému ...

takže tebe stačí:
1.)ukázať že to platí pre n=1
2.)indukčný krok:
dokázať ,že z toho že pre n=k výrok platí ukázať že platí aj pre n=k+1

skús pokiaľ sa dostaneš

Ryco · 15. 01. 2012 21:33 — Editoval Ryco (16. 01. 2012 11:20)

Řešení:
pro každé přirozené číslo n => n>0
číslo je dělitelné 6ti, právě tehdy, když je dělitelné 2mi a 3ma zároveň

Indukční základ:
$n=1\gg n^{3}-n=1^{3}-1=0\gg 0:3=0\wedge 0:2=0$
Indukční základ platí

Indukční krok: $V(k)\rightarrow V(k+1)$

Indukční předpoklad:

$k^{3}-k$
$(k+1)^{3}-(k+1)$
$k^{3}+3k^{2}+3k+1-k-1$
$[(k^{3}-k)+(3k^{2}+3k)]$
$(k^{3}-k)$ ..... je dělitelné 6ti viz Indukční Základ
$(3k^{2}+3k) = 3*(k^{2}+k)$
$k*(k+1)$ => I.P. platí?

zpsi · 15. 01. 2012 21:59 — Editoval zpsi (15. 01. 2012 22:00)

↑ Ryco:

Jen ten poslední vzorec roznásobíš a upravíš na tvar (k^3-k) + něco. Ukážeš, že to "něco" je také
dělitelné 6ti a to je vyhráno.

jardofpr

↑ Ryco:

vieš, každého to učia písať inak mám taký pocit niekedy ..
dôležité je, aby bolo jasné ktorá časť je ktorá
ja som to zvykol rozlišovať ako číslo kroku
1.) n=1
dokazovanie pre n=1

2.) IP:pre n=k platí: $6|(k^3-k)$
(pre náś prípad)

3.)pre n=k+1?
dokazovanie pre k+1

ale niekto ti povie že sú to len dva kroky a podobne, takže je to asi rôzne, hlavne aby sa v tom dalo vyznať a nebolo to matematicky nesprávne zapísané

Ryco · 15. 01. 2012 23:10

Editoval sem svůj poslední post.

jardofpr · 16. 01. 2012 00:40

↑ Ryco:

nie, keď chceš niečo dokázať pre nejakú skupinu čísel, nestačí že si jedno vyberieš, čo tie ostatné potom?

chceš ukázať že $3(k^2+k)$ je deliteľné šiestimi, teda už potrebuješ iba to že $(k^2+k)$ je deliteľné dvomi
$(k^2+k)=k(k+1)$ je súčin dvoch po sebe idúcich prirodzených čísel a keďže sa striedajú štýlom párne, nepárne, párne, nepárne,...
jedno z nich je určite párne, a teda deliteľné dvomi ;-)

Peggy1012

↑ Ryco:
Ahojda, já bych ještě využila toho, že číslo, které je dělitelné 2 je ve tvaru 2k, z toho 6 je ve tvaru 6k. Takže nejdřív dokážeme, že $(6k)^{3}-k=216k^{3}-k$ je dělitelné 6, to pak vezmeme jako indukční předpoklad.

$(6k+1)^{3}-(k+1)=216k^{3}+108k^{2}+17k$ = $216k^{3}-k+108k^{2}+18k$

Je zřejmé, že je nejen indukční předpoklad, ale i "zbytek" je dělitelný 6.

Ryco · 16. 01. 2012 11:21

editovano, no nevim si s tim koncem moc rady.

jardofpr · 16. 01. 2012 11:28

↑ Ryco:

vyššie som ti to napísal, nie je to jasné teda?

Ryco · 16. 01. 2012 11:38

pochopil sem to tak že dělitelné 3mi je proto protože je před tou závorkou ta 3jka. A dále dělitelné 2mi protože když dosadím liché číslo tak to budé (liché * sudé)=sudé, a když dosadím číslo sudé tak to bude (sudé*liché)=sudé. Sudé je vždy dělitelné 2mi. tudiž platí že číslo je dělitelné 3ma a 2mi zároveň.

jardofpr · 16. 01. 2012 11:39

↑ Ryco:

tak tak, a k tomu sme sa chceli dostať

Ryco · 16. 01. 2012 11:42

↑ jardofpr:
ok, takže jak to teď do toho příkladu zapsat matematicky správně? stačí to udělat tak, že napíšu tu závorku ve tvaru $k*(k+1)$ a napsat, že z toho vyplývá platnost indukčního předpokladu?

jardofpr

↑ Ryco:

mohlo by to stačiť

ja by som možno indukčný predpoklad zapísal ako
IP: pre n=k platí $k^3-k=6p\,,\,p\in\mathbb{N}$

a potom v dolnej časti keď sa dostanem k jeho použitiu by to vyzeralo možno lepšie

$\dots (k^3-k) + (3k^2 +3k) \phantom{=}^{IP}_{=} \, \,6p + 3k(k+1) \,,\, p\in\mathbb{N}$

$k = 2m \,,\, m\in \mathbb{N} \quad \Rightarrow \quad 6p + 3k(k+1)=6p+6m(2m+1)=6(p+m(2m+1))=6s \,,\, s\in\mathbb{N} \quad \Rightarrow 6|((k+1)^3 - (k+1))$

$k = 2m+1 \,,\, m\in\mathbb{N} \quad \Rightarrow \quad 6p + 3k(k+1)=6p+3(2m+1)(2m+2) =$
$=6p +6(2m+1)(2m+2) = 6(p+(2m+1)(2m+2)) = 6t \,,\, t\in\mathbb{N} \quad \Rightarrow 6|((k+1)^3 - (k+1))$

Ryco · 16. 01. 2012 12:39

↑ jardofpr:
aha ok, no todle vypadá hlavně o dost složitěji. Budu se spoléhat, že na písemce bude stačit tendle jednodušší postup =). Díky za pomoc

jardofpr · 16. 01. 2012 12:44

↑ Ryco:

určite bude stačiť ,keď z toho zápisu ten, kto to bude opravovať, pochopí, čo si tým myslel :)

Ryco · 16. 01. 2012 12:48

↑ jardofpr:
jojo, stejne u zkousky tam musime mit k tomu postupu i nejaky slovni zapis, aby viděli, že tomu rozumíme. Takže by to mělo stačit. Ještě jednou dík. Téma označuju za vyřešené.

Matematické Fórum

#1 15. 01. 2012 14:12

Důkaz matematickou indukcí

#2 15. 01. 2012 18:39 — Editoval jardofpr (15. 01. 2012 18:40)

Re: Důkaz matematickou indukcí

#3 15. 01. 2012 21:33 — Editoval Ryco (16. 01. 2012 11:20)

Re: Důkaz matematickou indukcí

#4 15. 01. 2012 21:59 — Editoval zpsi (15. 01. 2012 22:00)

Re: Důkaz matematickou indukcí

#5 15. 01. 2012 22:00 — Editoval jardofpr (15. 01. 2012 22:00)

Re: Důkaz matematickou indukcí

#6 15. 01. 2012 23:10

Re: Důkaz matematickou indukcí

#7 16. 01. 2012 00:40

Re: Důkaz matematickou indukcí

#8 16. 01. 2012 00:51 — Editoval Peggy1012 (16. 01. 2012 00:52)

Re: Důkaz matematickou indukcí

#9 16. 01. 2012 11:21

Re: Důkaz matematickou indukcí

#10 16. 01. 2012 11:28

Re: Důkaz matematickou indukcí

#11 16. 01. 2012 11:38

Re: Důkaz matematickou indukcí

#12 16. 01. 2012 11:39

Re: Důkaz matematickou indukcí

#13 16. 01. 2012 11:42

Re: Důkaz matematickou indukcí

#14 16. 01. 2012 12:14 — Editoval jardofpr (16. 01. 2012 12:15)

Re: Důkaz matematickou indukcí

#15 16. 01. 2012 12:39

Re: Důkaz matematickou indukcí

#16 16. 01. 2012 12:44

Re: Důkaz matematickou indukcí

#17 16. 01. 2012 12:48

Re: Důkaz matematickou indukcí

Zápatí