Matematické Fórum

Aquabellla · 15. 01. 2012 19:55

Pěkný večer přeji.

Nechť $X = \{0, 1, 2\}$ je množina a $f : X \rightarrow X$ zobrazení. Pro každou z následujících formulí nalezněte nějaké zobrazení, které formuli splňuje, a nějaké zobrazení (to označte jako g), které ji nesplňuje. Pokud takové f nebo g neexistuje, dokažte to.
$(\exists x \in X)(\forall y \in X)((f \circ f)(y) = x \wedge f(x) \neq x)$ .

Nenapadá mě žádné zobrazení, co by to splňovalo. Předem děkuji za každou radu.

vanok · 15. 01. 2012 20:17 — Editoval vanok (15. 01. 2012 22:37)

Ahoj ↑ Aquabellla:,
Zobzazenie, to znamena ze je to bijekcia z $X$ do $X$ ?
Ak ano,
akoze $X$ ma len 3 prvky, tak mame len $3!=6$
Takych aplikacii.

A tak staci urobit 6 pozorovani ....a to da odpovet.

( pochopitelne za podmienky ze ide o bijekcie....ale aj vseobecnejsia situacia by sa dala robit tovtou metodou... vtedy mame 27 aplikacii... ale daju sa rozdelit do o vela menej kategorii)

Aquabellla · 16. 01. 2012 16:07

↑ vanok:

0 --> 0 0 --> 0 0 --> 2 0 --> 1
1 --> 1 1 --> 2 1 --> 1 1 --> 0
2 --> 2 2 --> 1 2 --> 0 2 --> 2
Ani jedno z těchto zobrazení nesplňuje podmínku $f(x) \neq x$

0 --> 1 0 --> 2
1 --> 2 1 --> 0
2 --> 0 2 --> 1
Splňují tyto dvě zobrazení tuto podmínku? $(f \circ f)(y) = x$

jardofpr

ahojte,
mám pocit že o bijekciu ísť nemôže

samotná podmienka $(\exists x\in X)(\forall y\in X)(f\circ f)(y) = x$ by mala bijekciu vylučovať
lebo ak bude splnená, bude $(f\circ f)(X)=\{x\} \neq X$

Aquabellla · 16. 01. 2012 17:48

↑ jardofpr:

Dobře a jak vyřeším tento příklad nějak jednoduše, abych si nemusela malovat všech 27 zobrazení?

jardofpr

↑ Aquabellla:

nie som si úplne istý, ale vychádza mi to tak, že také zobrazenie tam nebude možné

nech pre niektoré $x_{0} \in X$ platí $(\forall y \in X)( (f \circ f )(y) = x_{0})$

chceme aby súčasne $f(x_{0}) \neq x_{0} \quad \Rightarrow \quad x_{0} \notin f(X) \quad \Rightarrow \quad (\forall y \in X)(f(y) \neq x_{0})$

ale $f(X) \subseteq X$ teda z toho $(\forall y' \in f(X)) (f(y') \neq x_{0}) \quad \Rightarrow \quad (\forall y \in X)((f \circ f)(y) \neq x_{0})$ teda druhá podmienka vylučuje prvú a spolu nebudú platiť pre žiadne zobrazenie..

Aquabellla · 16. 01. 2012 18:46

↑ jardofpr:

Když to takhle napíšeš, tak je vidět, že žádné zobrazení neexistuje. To bude i důvod, proč se mi žádné, pro které by to platilo, nepodařilo najít :-)

A druhá část zadání - najít zobrazení g, pro které formule neplatí, už je hračka.

Fakt moc děkuji!

Matematické Fórum

#1 15. 01. 2012 19:55

Zobrazení

#2 15. 01. 2012 20:17 — Editoval vanok (15. 01. 2012 22:37)

Re: Zobrazení

#3 16. 01. 2012 16:07

Re: Zobrazení

#4 16. 01. 2012 16:27 — Editoval jardofpr (17. 01. 2012 00:18)

Re: Zobrazení

#5 16. 01. 2012 17:48

Re: Zobrazení

#6 16. 01. 2012 18:00 — Editoval jardofpr (17. 01. 2012 00:19)

Re: Zobrazení

#7 16. 01. 2012 18:46

Re: Zobrazení

Zápatí