Matematické Fórum

lukasgal · 16. 01. 2012 20:25

Ahoj, mohl by mi někdo prosím pomoct s tímto příkladem? $sin^2x-2sinxcosx-cos^2x=0$ Rovnici jsem převedl na tvar $sin^2x-2sinx-1=0$ A kořeny mi vyšly $x = \frac{1\pm \sqrt{3}}{2}$ , což jsem vyjádřil jako $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ , tj. $\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3} = - \frac{\pi}{6}$ (to mínus mi bylo divné). Nicméně, toto jsem vyjádřil ve 3. a 4. kvadranu, kvůli tomu mínus. Tak mi to vyšlo $\frac{7\pi}{6}+2k\pi ; \frac{11\pi}{6} + 2k\pi$ Wolfram má na to ovšem jiný názor :( Nevím co je špatně. Prosím, poraďte. Díky.

Odkaz

elypsa · 16. 01. 2012 20:29

Já ti nevím, ale z toho tvého tvaru sin^2x-2sinx-1=0
bych dělal substituci sinx=a.

a = $1\mp \sqrt{2}$

takže sin x = $1+ \sqrt{2}$
nebo sin x = $1- \sqrt{2}$

Jinak taky zdravím :)

smatel · 16. 01. 2012 20:30

Ahoj, teď nějak nevidím, jak ses dostal
odtud: $sin^2x-2sinxcosx-cos^2x=0$
sem: $sin^2x-2sinx-1=0$

Neříkám, že je to špatně, jen, že mi momentálně nedochází, jak to z toho dostat.

lukasgal · 16. 01. 2012 20:34

↑ smatel:
vzorec $sin2x = 2sinx*cosx$ a $cos^{2}x =1 -sin^{2}x$ a celá rovnice *(-1). Ta substituce tam v podstatě je $2a^{2}-2a-1 = 0$ za $a = sinx$

smatel · 16. 01. 2012 20:39 — Editoval smatel (16. 01. 2012 20:41)

↑ lukasgal: To je ten večer, ale stále té úpravě nerozumím. Dle mého to lze upravit takto:

$\sin^2x-2\sin x\cos x-\cos^2x= \sin^2x- \sin2x-1 + \sin^2x=0$
$= 2\sin^2x - \sin 2x - 1$

lukasgal · 16. 01. 2012 20:45

↑ smatel:
Hluboce se omlouvám, jsem to špatně opsal, samozřejmě má být $2sin^2x-2sinx-1=0$

lukasgal · 16. 01. 2012 21:04

Nevíte tedy prosím, jak je to s tím výsledkem? Moc děkuji.

MarekZ · 16. 01. 2012 21:14

↑ lukasgal:
$\sin 2x \ne 2*sinx$

lukasgal · 16. 01. 2012 21:23

↑ MarekZ:
Hm, tak to je blbý :( Co tedy navrhujete? Že by $sin2x = \frac{2tgx}{1+tg^{2}x}$ ? a za $tgx = \frac{sinx}{cosx}$ ???

lukasgal · 16. 01. 2012 21:37

↑ elypsa:
Aha, a co tím chcete říct, že je goniometrický?

Cheop · 16. 01. 2012 21:59

↑ lukasgal:
Tuto rovnici bys vyřešil?
$\sin(2x)+\cos(2x)=0$ protože to je ta samá rovnice jako ta Tvá původní

lukasgal

↑ Cheop:
$\sin(2x)+\cos(2x)=0$
Vydělím rovnici $/\cos(2x)$ $\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}=-1$ , tj. $tg2x=-1$

Cheop · 17. 01. 2012 07:08 — Editoval Cheop (17. 01. 2012 08:15)

↑ lukasgal:
Ano to je ono. Podmínka je, že $\cos(2x)\,\ne\,0$
Teď substituce: $2x=t$ dostaneš:
$\text{tg}\,t=-1\\t=\frac{3\pi}{4}+k\pi$
Vratka k substituci
$2x=\frac{3\pi}{4}+k\pi\\x=\frac{3\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}\\x=67,5^\circ+k\cdot 90^\circ$

Řešení na intervalu $x\in<0;\,2\pi>$