Matematické Fórum

mejla · 16. 01. 2012 22:18 — Editoval mejla (16. 01. 2012 22:21)

Ahoj, potřeboval bych drobnou pomoc, už jsem celkem zoufalej a tím pádem mi to myslí ještě hůř než obvykle. Mohl by mi někdo vysvětlit, jak derivovat tohle
$\ln \frac{2+x-x^{2}}{2}$
a jak tohle
$\frac{\ln 2+x-x^{2}}{2}$
Už fakt nevím, snažím se co mi síly stačí, ale nevím. Je mi jasný základní vztah $\ln x = \frac{1}{x}$ ale nedokážu si s tím poradit v téhle situaci. Zatím jsem to dělal tak, že jsem prachsprostě hodil čitatele dolů, jmenovatele pominul (teď asi matematikům vstávají vlasy hrůzou), takže jsem získal $\frac{1}{2+x-x^{2}}$ a pak nevěděl co dál. (Tím myslím ten první případ, ten druhej jsem nevěděl pro jistotu vůbec)

jrn · 16. 01. 2012 22:31 — Editoval jrn (16. 01. 2012 22:33)

Ahoj, jdeš na to správně. Ještě si pak uvědom, že derivuješ složenou fci.
např.
$f(x)= \ln a$
$f'(x)= \frac1a *(a)'$

a u toho druhého příkladu, jestli tě mate výraz ln2, tak je to nějaké číslo, takže s tím pracuješ jako s konstatntou.

jardofpr

↑ mejla:

ahoj to prvé
po krokoch

$\bigg(\ln{\frac{2+x-x^2}{2}}\bigg) ' = \frac{1}{\frac{2+x-x^2}{2}} \,\, \bigg(\frac{2+x-x^2}{2}\bigg)' = \frac{2}{2+x-x^2} \,\, \bigg(1+\frac{x}{2} -\frac{x^2}{2}\bigg)'=$
$= \frac{2}{2+x-x^2} \bigg(\frac{1}{2}-x\bigg)= \frac{2\(\frac{1}{2}-x)}{2+x-x^2}=\frac{1-2x}{2+x-x^2}$

sú tie kroky jasné?

mejla · 16. 01. 2012 22:45

↑ jrn::: Díky, jenže to bych nesměl bejt blbec a musel bych ten druhej příklad zapsat pořádně, má to bejt: $\frac{\ln (2+x-x^{2})}{2}$
↑ jardofpr::: Díky moc, v jedné ze svých nemnohých úvah jsem se k tomu blížil, ale udělal nějakou chybu.
Ještě, pokud to nevadí, jak bych pracoval dejme tomu s příkladem $\ln\frac{(2+x-x^{2})}{2-x}$
Znamenalo by to $\frac{1}{\frac{2+x-x^{2}}{2}} \cdot \text{derivace podílu}$ , když to takhle zjednoduším?

jardofpr

↑ mejla:

takmer ale v menovateli menovateľa toho prvého zlomku ti chýba x odpočítané od dvojky
ale principiálne správne

preto som to tak napísal aby bolo vidno že
$f(g(x))' = f'(g(x)).g'(x)$

ono keď je ešte aj g(x) zložená funkcia a teda $g(x) = G(F(x))$ tak potom sa to derivuje

$f(G(F(x)))'=f'(G(F(x))).[G(F(x))]' = f'(G(F(x))).G'(F(x)).F'(x)$ jasne?

mejla · 16. 01. 2012 22:51

↑ jardofpr:To je tak, když je někdo línej (já) zkopíruje od tebe ten zápis, aby se s tím netrápil a pořádně to nezkontroluje :D Ale princip toho jsem pochopil, teď už jen ten příklad, kde je přirozený logaritmus pouze v čitateli.

jardofpr · 16. 01. 2012 22:54

↑ mejla:

tak poď ideš ;-)

mejla · 17. 01. 2012 12:12

↑ jardofpr:Mimochodem, teď když na to koukám, jak to že $\frac{2}{2+x-x^{2}}\cdot (\frac{1}{2}- x)$ je $\frac{2\cdot(\frac{1}{2}-x)}{2+x-x^{2}}$ . Proč to není $\frac{2\cdot (1-x)}{2\cdot (2+x-x^{2})}$ Jak to, že ten druhej výraz v závorce tedy výraz $(\frac{1}{2}- x)$ se bere jen jako čitatel myšleného zlomku?

jardofpr · 17. 01. 2012 14:47

↑ mejla:

pozri, platí
$\frac{A}{B} \cdot C=\frac{A.C}{B}$

preto
$\frac{2}{2+x-x^{2}}\cdot (\frac{1}{2}- x) = \frac{2\cdot(\frac{1}{2}-x)}{2+x-x^{2}}$

POZOR!! pri úprave výrazu $\frac{2}{2+x-x^{2}}\cdot (\frac{1}{2}- x)$ NEMÔŽEŠ použiť $\frac{A}{B} \cdot\frac{C}{D} = \frac{A.C}{B.D}$ lebo $\bigg(\frac{1}{2}-x\bigg)$ NIE JE ZLOMOK!

dá sa to použiť až po úprave $\bigg(\frac{1}{2} -x\bigg) = \bigg(\frac{1}{2} - \frac{2x}{2}\bigg) = \frac{1-2x}{2}$

takže to vyjde rovnako

jasné? ;-)