Matematické Fórum

FlyingMonkey · 15. 01. 2012 21:51

Ahoj :)

$y =x ^2 \sqrt{1+2x}$

Tak s touhle jsem celkem ztracenej :)) poradíte prosím? Díky :)

Phate · 15. 01. 2012 21:57

derivujes jako soucin a tu odmocninu jako slozenou funkci

FlyingMonkey · 15. 01. 2012 22:15

Poradíš jenom prosím, jak přesně derivovat když tam mám odmocninu?

Mám si to přepsat na 1/2?

když vemu jenom g = $\sqrt{1+x^2}$

tak potom g' = $2x * (-\frac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{3}{2}})$

?? Tohle mi není moc jasné s tou odmocninou a ty složené funkce obecně no :)) Tak mě to plete, díky

Phate · 15. 01. 2012 22:17 — Editoval Phate (15. 01. 2012 22:18)

$(\sqrt{a+bx})'=\frac12 \cdot \frac1{\sqrt{a+bx}}\cdot(a+bx)'=\frac12 \cdot \frac{b}{a+bx}$
protoze $(x^{\frac12})=\frac12*x^{-\frac12}=\frac12 * \frac1{x^{\frac12}}$

FlyingMonkey · 16. 01. 2012 20:34

Ahoj :) Prosím pomůžete mi kdokoliv s tímhle příkladem?

Je to poslední z témat derivací, který mi chybí .. a fakt nevím jak na něj, Phate mi suprově vysvětlit ty odmocniny, to chápu... Ale jak to mám zakomponovat dohromady? Pravidlo součinu a tohle?

Nějak nevím jestli tam mám dosazovat už tu upravenou odmocninu? nebo co? :))

Díky za pomoc :)

Honzc · 17. 01. 2012 10:51 — Editoval Honzc (17. 01. 2012 10:53)

↑ FlyingMonkey:
Tak postupně:
Derivace složené fce: (slovně: derivace "venkovní" funkce krát derivace "vnitřní" funkce)
$(f(g(x))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$
Náš případ:
$f(g(x)): f(g(x))=\sqrt{g(x)}=(g(x))^{\frac{1}{2}};g(x)=1+2x$
$((g(x))^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2}(g(x))^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}(g(x))^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}(1+2x)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1+2x}}$
$(g(x))'=(1+2x)'=2$
Celkem tedy máme:
$(\sqrt{1+2x})'=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1+2x}}\cdot 2=\frac{1}{\sqrt{1+2x}}$
Derivace součinu:
$(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$
Náš případ:
$u=x^{2},u'=2x$
$v=\sqrt{1+2x},v'=\frac{1}{\sqrt{1+2x}}$
$(x^{2}\cdot \sqrt{1+2x})'=2x\cdot \sqrt{1+2x}+x^{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+2x}}=$
$=\frac{x(5x+2)}{\sqrt{1+2x}}$