Matematické Fórum

veve_maty · 30. 10. 2007 19:07

Je dána báze U = (u1, u2, u3) vektorovského prostoru R^3. Spočtěte souřadnice vektorů x a u2 v této bázi U. Přitom: u1 = (1, 1, 1) u2= (1,1,2) u3 = (1,2,3) x = (6, 9, 14)

Nemohli by jsme mi vysvětlit jak na to??? Naše profesorka buď mluví jinak než já a nebo jí vůbec nerozumím.

Kondr · 30. 10. 2007 20:43

Hledat souřadnice vektoru x znamená hledat taková reálná čísla a,b,c, aby
au1+bu2+cu3=x.
Dva vektory se rovnají, pokud se rovnají jejich složky, tato vektorová rovnice je soustavou rovnic pro jejich složky.
Matice levých stran rovnicje tvořena vektory u1,u2,u3 napsanými po sloupcích, sloupec pravých stran je tvořen vektorem x.
Souřadnice x vyjdou (1,2,3), souřadnice u2 vyjdou (0,1,0).

veve_maty · 30. 10. 2007 21:31

Mohu si, aby se mi x = 1,2,3 přehodit u matice 2 a 3 řádek?

Kondr · 01. 11. 2007 12:25

S řádky můžeš dělat všechno to, co u každé jiné soustavy lineárních rovnic: přehazovat, vzájemně sčítat, odčítat a násobit celým číslem.

blackilla · 14. 11. 2007 13:52

Výpočet souřadnice x je mi jasný, ale uniká mi výpočet souřadnice u2, můžete mi prosím blíže nastínit jak se dostanu k u2?

díky

Kondr · 14. 11. 2007 14:52

Protože jsem toto řešil za poslední 2 dny se 2 lidmi po ICQ, sem hodím pouze log zpráv:

(07:51:29 PM) Kondr: k prvnimu prikladu: kdyz mas bazi u1, u2, u3, tak vzdycky u1 ma souradnice (1,0,0), u2 souradnice (0,1,0), u3 souradnice (0,0,1).
(07:52:40 PM) Kondr: To plyne z te vektorove rovnice, kterou resis: hledat souradnice a,b,c znamena resit
u2=au1+bu2+cu3. Je jasny, ze (0,1,0) je reseni.

(06:39:25 PM) Kondr: Tot moje vcerejsi domluva nejspis s nekterou ze tvych spoluzacek (Marketka se jmenuje.)
(06:40:04 PM) Matika2: to jsi vzal jednotkovou matici, ale odkud?:-)?ja jsem asi hlupy, ale z toho zadani nechapu proc jednotkovou:-) (There was an error receiving this message. Either you and 218179887 have different encodings selected, or 218179887 has a buggy client.)
(06:41:20 PM) Kondr: Oki. Tak pomalu... hledame souradnice vektoru v nejake bazi. Co jsou to souradnice?
(06:41:51 PM) Matika2: no vektor?
(06:43:56 PM) Kondr: A kdyz ma vektor (x1,x2,x3) v bazi dane vektory v1,v2,v3 souradnice (a,b,c), co to znamena?
(06:46:12 PM) Matika2: netusim...
(06:48:22 PM) Kondr: Ze (x1,x2,x3)=au1+bu2+cu3
(06:49:32 PM) Matika2: no to je mi sice jasne, ale co tam mam kam dat? znam u1, u2, u3, x ... spocital jsem dalsi nejake x a tedka mam rovnici kde je opet x a k nemu u1,u2,u3
(06:49:38 PM) Matika2: a jeste a,b,c
(06:49:45 PM) Matika2: takze to mi hlava nebere:-)
(06:50:12 PM) Kondr: Hledas souradnice vektoru u2, je to tak?
(06:50:19 PM) Matika2: ano prosim...
(06:51:02 PM) Kondr: No tak vezmes tu rovnici, pomoci ktere jsme definovali souradnice, za (x1,x2,x3) dosadis u2...
(06:51:17 PM) Kondr: u2=au1+bu2+cu3
(06:52:31 PM) Matika2: a za a,b,c? uz se mi pomalu zapaluje.. dalsi matice
(06:55:06 PM) Kondr: a,b,c jsou nezname. Trik je v tom, ze tahle jedna rovnice v sobe schovava 3, protoze je to rovnice mezi vektorama.
(06:56:12 PM) Kondr: Takze mas 3 rovnice o 3 neznamych, ktery maji jediny reseni a=c=0, b=1.
(06:56:54 PM) Matika2: jojo tedka uz jsem to KONECNE pochopil:-)?diky moc (There was an error receiving this message. Either you and 218179887 have different encodings selected, or 218179887 has a buggy client.)
(06:58:31 PM) Kondr: Rado se stalo. Co vlastne studujes?
(06:58:49 PM) Matika2: dalkove FEI ostrava:-)
(07:00:41 PM) Matika2: no ale tedka mam zase nejaky problem:-)?vylo mi to 0,0,1 (There was an error receiving this message. Either you and 218179887 have different encodings selected, or 218179887 has a buggy client.)
(07:01:29 PM) Kondr: Kdyz si udelas zkousku dosazenim do
(07:01:30 PM) Kondr: u2=au1+bu2+cu3
(07:01:43 PM) Kondr: dostanes u2=u3.
(07:02:29 PM) Matika2: no to sice jo
(07:04:39 PM) Matika2: 1 1 1 | 1
1 1 2 | 2
1 2 3 | 3
(07:05:05 PM) Matika2: teda pokud ma byt dosazena takhle... no a pak to vyjde po uprave 0,0,1
(07:05:21 PM) Kondr: No tahle soustava ocividni vyjde 0,0,1
(07:05:37 PM) Kondr: protoze pocitas souraddnice u3.
(07:06:11 PM) Kondr: Spravne bys mel na prave strane mit
1
1
(07:06:12 PM) Kondr: 2
(07:06:43 PM) Matika2: a jo... takze ne x ale uě na prave strane
(07:06:47 PM) Matika2: kua fix
(07:07:32 PM) Kondr: no kdyz pocitas souradnice u2, tak tam das u2. Kdyz pocitas souradnice x, das tam x...

blackilla · 15. 11. 2007 06:48

Protože x jsem počítal pomocí klasické Gaussovy řešení matice a x mi vyšlo x = 1,2,3

tak by mne zajímalo jestli počítám správně pro výsledek u2 že vypočítám na levé straně jednotkovou matici. (na pravou stranu jsem dosadil u2 tak jak jsem pochopil s předešlého příspěvku)

Uff, tak jen na kontrolu:
1 1 1 | 1 1 1 1 | 1 1 1 1 | 1 r1-r2 1 0 0 | 0
1 1 2 | 1 r2-r1 ~ 0 0 1 | 0 r2<>r3 ~ 0 1 1 | 1 r2-r3 ~ 0 1 0 | 1
1 2 3 | 2 r3-r2 0 1 1 | 1 0 0 1| 0 0 0 1 | 0

u2 = 0,1,0

PS: taky studuji dálkově FEI v ostravě, :-) svět je malý, Matika2 bude zřejmě můj spolužák.

veve_maty · 15. 11. 2007 20:27

blackilla máš to tak jako já takže asi správně :) :D

cmaja · 27. 12. 2008 16:12

Ja bych potřeboval pomoct s tímto příkladem.
Jsou zadány vektory a=(1,2,0) b=(1,0,-1) c=(-1,x,2)
ukoly k tomuto:
a) určete pro jaká reálná čisla x tyto vektory tvoří bázi vektorového prostoru R^3
b) určete pro jaká reálná čisla x jsou tyto vektory lineárně zavyslé

Nevím si s tímto příkladem rady

Kondr · 05. 01. 2009 13:30

Bázi tvoří právě tehdy, když matice jimi tvořená má hodnost rovnou dimenzi prostoru (aby vektory prostor generovaly) a současně rovnou jejich počtu (aby byly nezávislé). V našem případě musí mít hodnost 3.

Lineárně závislé jsou právě tehdy, když je hodnost této matice menší, než jejich počet. To v nšem případě znamená, že jsou závislé, právě když netvoří bázi.

Matematické Fórum

#1 30. 10. 2007 19:07

Báze vektorového prostoru R^3

#2 30. 10. 2007 20:43

Re: Báze vektorového prostoru R^3

#3 30. 10. 2007 21:31

Re: Báze vektorového prostoru R^3

#4 01. 11. 2007 12:25

Re: Báze vektorového prostoru R^3

#5 14. 11. 2007 13:52

Re: Báze vektorového prostoru R^3

#6 14. 11. 2007 14:52

Re: Báze vektorového prostoru R^3

#7 15. 11. 2007 06:48

Re: Báze vektorového prostoru R^3

#8 15. 11. 2007 20:27

Re: Báze vektorového prostoru R^3

#9 27. 12. 2008 16:12

Re: Báze vektorového prostoru R^3

#10 05. 01. 2009 13:30

Re: Báze vektorového prostoru R^3

Zápatí