Matematické Fórum

↑ darkmagic:

áno je, spolu s nulovým podpriestorom je to jeden z dvoch najtriviálnejších podpriestorov lineárneho priestoru

↑ darkmagic:

Ano, lineární prostor je sám sobě podprostorem.

Kdybychom předpokládali , že speciálně platí  K = L, pak bychom dokazované tvrzení oslabili - hledaným lin. zobrazením by triviálně byla identita.
Máme dokázat, že lin. zobrazeni z L do K existuje pro LIBOVOLNÝ podprostor K.

Nápověda:   Podprostor K má bázi,  kterou - dle Steinitzovy věty - je možno doplnit na bázi celého prostoru L .

darkmagic napsal(a):

Když zobrazím bázi L, která má n prvků, tak dostanu Im(l), který má taktéž n lin. nezávislých prvků.
Pokuď zobrazím bázi K, která má pouze k prvků (k <= n), tak dostanu zase k lin. nezávislých prvků.

Nerozumím smyslu tech výroků. Předpokládáme-li, že I je identita (definovaní na L) , pak  Im(I) = L a ten jistě není konečnou množinou .

Možné jsi chtěl řící, že  lineárním obrazem lineárně nezávislé množiny je opět lineárně nezávislá množina.  To ovšem obecně neplatí (platí to
právě tehdy, když to lin. zobrazení je navíc PROSTÉ).

Příklad: když všechny vektory zobrazím na nulový vektor, pak obraz žádné neprázdné množiny není leárně nezávislou množinou. 

Důkaz, že LZ existuje, půjde provést tak, že lin. zobrazení f s požadovanými vlastnostmi SESTROJÍŠ. Už máme vyřešeny dva krajní případy:

A)             K = L      ....   f(x) := x ,

B)             K = {0}  ....   f(x) := 0  .

Zbývá vyřešit případ, kdy K je netriviální podprostor v L,  tj. ani L ani {0}.  Nicméně řešení oněch krajní případů může být inspirací.
Co když najdeme podprostor M v L takový,  že   bude L = K + M  (míněn direktní součet) ? Uvažuj i bázi, kterou jsem navrhoval předešle.
K tomu, aby LZ bylo jednoznačně určeno, stačí definovat jeho hodnoty na bázových vektorech.