Matematické Fórum

ktm22 · 17. 09. 2008 20:17 — Editoval ktm22 (02. 10. 2008 14:11)

vykázat:

pro $x>y\geq 1$

musixx · 18. 09. 2008 09:18 — Editoval musixx (18. 09. 2008 10:33)

Uvazme
$\ln n!=\ln1+\ln2+\cdots+\ln n=\sum_{i=1}^n\ln n\leq\int_{x=1}^n\ln x{\rm d}x=n\ln n-n+1$ .

Dale zadanou rovnici zlogaritmujme (coz je v tomto pripade ekvivalentni uprava). Mame tedy dokazat, ze
$\ln\frac{\sqrt[x]{x!}}{\sqrt[y]{y!}}<\ln\frac xy$ .

Dale budu delat same ekvivalentni upravy:
$\frac1x\ln x!-\frac1y\ln y!<\ln x-\ln y$ .

Ted pouziji prvne dokazane. Levou stranu nerovnice jenom zvetsim:
$\frac1x(x\ln x-x+1)-\frac1y(y\ln y-y+1)<\ln x-\ln y$ ,
tedy
$\ln x-1+\frac1x-\ln y+1-\frac1y<\ln x-\ln y$ ,
tedy
$\frac1x-\frac1y<0$ ,
tedy
$\frac1x<\frac1y$ ,
tedy
$x>y$ ,
coz bylo v zadani. Znova pripominam, ze uvedene upravy jsou ekvivalence.

Maji-li byt snad x a y libovolna kladna realna, x>y>1, pak vypocet plati podobne.

EDIT: nemam to uplne dobre, spravim hned, jak si najdu cas - pokud to nekdo neudela za me :-)

Marian · 18. 09. 2008 14:39 — Editoval Marian (18. 09. 2008 14:58)

Má se dokázat, že pro (pravděpodobně přirozená) čísla x,y taková, že $x>y\ge 1$ platí nerovnost
$\frac{\sqrt[x]{x!}}{\sqrt[y]{y!}}<\frac{x}{y}.$
Přístup zvolím velice elementární. Nejprve separuji
$\frac{x!^{\frac{1}{x}}}{y!^{\frac{1}{y}}}<\frac{x}{y}\quad\Leftrightarrow\quad\frac{x!^{\frac{1}{x}}}{x}<\frac{y!^{\frac{1}{y}}}{y}.$
Protože obě strany mají stejný tvar až na označení, stačí uvážit posloupnost $\left\{\frac{n!^{\frac{1}{n}}}{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ , o teré se dokáže že je klesající, tedy že platí pro všechna přirozená čísla n nerovnost
$\frac{(n+1)!^{\frac{1}{n+1}}}{n+1}<\frac{n!^{\frac{1}{n}}}{n}.$
To nejprve ekvivalentně upravíme jako

Nyní zlogaritmuju

Platí snadno ověřitelný odhad
$\sum_{j=1}^{n}\ln j=\sum_{j=2}^{n}\ln j>\int_{1}^{n}\ln x\,\mathrm{d}x =n\ln n-n+1,\qquad\forall n\in\mathbb{N}, n>1.$
Dokážeme nejprve

což je již snadné ukázat.

Pavel · 18. 09. 2008 15:04

↑ musixx:

Nemůžeš nahradit $-\ln y!$ výrazem $-(y\ln y-y+1)$ , protože

$-\ln y!\geq-(y\ln y-y+1)$

Marian · 18. 09. 2008 15:10 — Editoval Marian (18. 09. 2008 15:20)

↑ Pavel:
Souhlasím s Pavlem, je to asi nejzávažnější chyba, kterou jsem u ↑ musixx: viděl. Dále odhad sumy logaritmů integrálem u ↑ musixx: nemůže platit, stačí vzít třeba n=2. Navíc index sumace v sumě je jiný než u obecného sumandu.

Teď jen abych tam neměl já nějakou koninu.

musixx · 18. 09. 2008 16:58

Zdravim, Mariane a Pavle, a musim se malinko obhajit. :-)) Rekl bych, ze se uz dost dlouho (celkem uspesne) pohybuju v matematice na to, abych se vyhybal chybam typu ze pri zvetseni B se take A-B zvetsi...

Psal jsem, ze tam mam chybu a ze ji odstranim hned, jak se k tomu dostanu, coz je prave ted. Spatne jsem mel prvni odhad. Plati totiz
$\ln n!=\ln1+\ln2+\cdots+\ln n=\sum_{i=1}^n\ln i\geq\int_{x=1}^n\ln x{\rm d}x=n\ln n-n+1$ ,
a to protoze pri pouziti intergralu vlastne "uberu" zelene oblasti:
.

Dobra. Co se tedy stane s vyrazem $\frac1t\ln(t!)$ , kdyz misto $\ln(t!)$ napisu $t\ln t-t+1$ ? Cely se zmensi o _aritmeticky_prumer_ vsech tech zelenych oblasti zleva az do bodu $t$ . Kdyz takovou nahradu tedy provedu na leve strane te me nerovnosti
$\frac1x\ln x!-\frac1y\ln y!<\ln x-\ln y$ ,
tak se cely vyraz vlevo zvetsi!! Totiz - nebot x>y, tak prumer tech zelenych veci az do x je mensi nez prumer tech zelenych veci jen do y, protoze ty zelene veci se postupne doprava neustale zmensuji (na tom preci take stoji Stirlingova formule).

Souhlasite uz?

Marian · 19. 09. 2008 14:04 — Editoval Marian (19. 09. 2008 14:21)

↑ musixx:
Chápu, co chceš asi říci, ale pokud se v matematice pohybuješ delší dobu a úspěšně, musíš také napsat, pro jaké hodnoty platí tvůj odhad. Nemohu souhlasit s úvahami podobného typu, nebudou-li dostatečně přesné, i když jsou kousek od správného řešení - aniž bych to myslel zle (právě naopak). Totiž když si vezmeš x=3>2=y, pak neplatí nerovnost
$\frac1x(x\ln x-x+1)-\frac1y(y\ln y-y+1)<\ln x-\ln y.$
Pro větší hodnoty to bude patrně v pořádku (kontroloval jsem to jen graficky), ale chtělo by to korektně dokázat, a? se vyhneme chybám v některých speciálních případech, které mohou nebo nemusí mít podstatný význam pro celkovou správnost důkazu.

EDIT.
Takže poprosím tě o kompletní důkaz citované nerovnosti v tomto příspěvku (což de facto není možné, jak jsem ukázal na speciálním případě - je zapotřebí zvážit, zda-li popř. jaký vliv to má na celkový důkaz).

Marian · 19. 09. 2008 14:32

↑ musixx:
Dále si začínám uvědomovat, že mi není vůbec jasné, co jsi myslel výrokem

Dobra. Co se tedy stane s vyrazem $\frac1t\ln(t!)$ , kdyz misto $\ln(t!)$ napisu $t\ln t-t+1$ ? Cely se zmensi o _aritmeticky_prumer_ vsech tech zelenych oblasti zleva az do bodu $t$ .

Zvolím-li totiž jednoduše třeba t=3, pak mám podle tebe
$\frac{1}{3}\ln (3!)=^{(!)}\frac{1}{3}(3\ln 3-3+1)+\underbrace{\frac{\ln 2+\ln 3-(3\ln 3-3+1)}{2}}_{\mathrm{aritm.\, pr.}},$
což neplatí. Zkus to nějak upřesnit.

musixx · 19. 09. 2008 15:25 — Editoval musixx (19. 09. 2008 15:38)

↑ Marian:Ahoj, mas pravdu, akorat jsi nejspis myslel dokazat poradne formalne
$\frac1x\ln(x!)-\frac1y\ln(y!)\leq\frac1x(x\ln x-x+1)-\frac1y(y\ln y-y+1)$ .
Pustil jsem se na az prilis tenky (pry ze: nazorny) led ve snaze zachranit me na prvni pohled jednodussi zduvodneni cele nerovnosti, navic rozsiritelne na spojity pripad (tedy bez posloupnosti). I nazorne vsak vidim, ze aritmeticky prumer obsahu nulteho (nuloveho) a prvniho zeleneho obrazce je tedy pulka prvniho zeleneho obrazce, coz je bohuzel min nez tretina souctu obsahu prvniho a druheho zeleneho obrazce. Pro x=4>3=y uz to sedi a jak pises, dal to asi sedet bude. Budou-li x a y od sebe dal nez o 1, tak to nejspis take sedne.

K Tve druhe pripomince: Samozrejme je ve hre jeste jeden "zeleny obrazec" na pocatku, ktery ale nelze nakreslit, protoze ma nulovy obsah. Prumer je tedy ze tri clenu, kde prvni je nula. Pak to sedi, to je v poradku.

Kdyz se podivame na rozdil mezi 1/x*ln(x!) a 1/x*(x*ln x-x+1), je to

(pozn: v gnuplot je prirozeny logaritmus znaceny jako log()).

Ta nemonotonnost na pocatku je zdrojem mych problemu. Mozna bychom mohli tema uzavrit tim
1. ze uznavam, ze jsem se ukvapil,
2. ze vsichni asi budeme ochotni pripustit (bez dukazu), ze funkce na obrazku v tomto prispevku je od priblizne 2.739 klesajici,
3. ze dukaz 2 + vycleneni pripadu x=3, 2=y by verifikoval muj pristup, ale ze by to v dusledku bylo delsi reseni nez Marianovo, i kdyz by zase melo potencial byt rozsireno na vic nez jen cela cisla.

Otazkou samozrejme pro me zustava, zda dukaz vyse uvedeneho bodu 2 je vlastne vubec snazsi nez dukaz puvodni nerovnosti...

Vzdavam reseni. Tazatel ktm22 korektni odpoved dostal od Mariana a to, co jsem v tomto vlakne psal ja, prosim berte jako ideu, jak by to take slo, kdyby se to jeste malinko ucesalo.

Zbynek.

Marian · 19. 09. 2008 15:51

↑ musixx:
Ačkoliv jsem seznámen s funkcí Gamma(x) poměrně slušně, nejsou mi jasné některé skutečnosti v důkazu požadované nerovnosti pro reálná čísla x, y. Zkusím popřemýšlet ještě nad takovýmto obecným důkazem. Všichni zájemci se mohou přidat. Tedy pišme v původní nerovnosti
$x!=\Gamma (x+1), \quad x\ge 1,$
kde $\Gamma (x)$ je definována eulerovským integrálem jako
$\Gamma (x):=\int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-t}t^{x-1}\,\mathrm{d}t.$

Matematické Fórum

#1 17. 09. 2008 20:17 — Editoval ktm22 (02. 10. 2008 14:11)

nerovnica 2

#2 18. 09. 2008 09:18 — Editoval musixx (18. 09. 2008 10:33)

Re: nerovnica 2

#3 18. 09. 2008 14:39 — Editoval Marian (18. 09. 2008 14:58)

Re: nerovnica 2

#4 18. 09. 2008 15:04

Re: nerovnica 2

#5 18. 09. 2008 15:10 — Editoval Marian (18. 09. 2008 15:20)

Re: nerovnica 2

#6 18. 09. 2008 16:58

Re: nerovnica 2

#7 19. 09. 2008 14:04 — Editoval Marian (19. 09. 2008 14:21)

Re: nerovnica 2

#8 19. 09. 2008 14:32

Re: nerovnica 2

#9 19. 09. 2008 15:25 — Editoval musixx (19. 09. 2008 15:38)

Re: nerovnica 2

#10 19. 09. 2008 15:51

Re: nerovnica 2

Zápatí