Matematické Fórum

Mihulik

Ahoj,
nejsem si jistej, jestli sem následující úlohu vyřešil správně, a tak bych byl moc vděčný, kdyby mi ji někdo zkontroloval a případně poradil.

Zadání:
"Mějme matice $A=\begin{pmatrix}\\3&1&-2&4 \\5&7&-8&6 \end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix}\\2&-2&1&3 \\-5&9&-6&-8 \end{pmatrix}$ .
Určete dimenzi průniku jejich řádkových prostorů a rozhodněte, zda lze elementárními řádkovými úpravami převést matici A na B."

Řešení:
$dim(R(A)\cap R(B))=dimR(A)+dimR(B)-dim(R(A)+R(B))$

$dimR(A)=rank(A)=2$
$dimR(B)=rank(B)=2$

$R(A)+R(B)=R(A+B)$
$dim(R(A+B))=rank(A+B)=2$

Tedy $dim(R(A)\cap R(B))=2$ .

$R(A)\cap R(B)$ je podprostor $R(A)$ i $R(B)$ , ale vzhledem k tomu, že $dim(R(A)\cap R(B))=dim(R(A))=dim(R(B))$ , tak zřejmě $R(A)\cap R(B)=R(A)=R(B)$ a matici tedy lze převést (při násobení reg. maticí zleva se řádkový prostor zachovává)

Děkuji!

jardofpr · 18. 01. 2012 20:44

↑ Mihulik:

ahoj, tvoj záver je správny len by ma zaujímalo, či si všetky tie hodnosti počítal ;-)

Mihulik · 18. 01. 2012 21:05

Děkuji:-) No naštěstí zde to bylo vidět dostatečně průkazně, abych si to počítání mohl odpustit... ale právě tohle nudné počítání je důvod, proč lin. algebru nemusím (i když uznávám sílu algebry (i té lin.) pro rozvoj matematiky):-)

jardofpr · 18. 01. 2012 21:07

↑ Mihulik:

tak ja som sa pýtal len preto, že sú spôsoby a spôsoby a často sa vieš dostať k výsledku rôznymi cestami :)

Mihulik · 18. 01. 2012 22:20

Napadá tě jiná elegantnější cesta?:)

jardofpr · 18. 01. 2012 22:46

↑ Mihulik:

tak neviem či zrovna elegantnejšia, je to to isté len sa mi to zdá kratšie

$\left(\begin{array}{c|c} A_1 & A_2 \\ \hline B_1 & B_2 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{cccc} 3&1&-2&4\\5&7&-8&6\\2&-2&1&3\\-5&9&-6&-8\end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{cccc} 1&3&-3&1\\0&16&-14&-2\\0&-8&7&1\\0&8&-7&-1 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{cccc} 1&3&-3&1\\0&16&-14&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0 \end{array} \right)$

kde tá posledná matica už rieši všetky otázky ktoré sú v tej úlohe položené

Mihulik · 19. 01. 2012 07:45

Pravda! To mě mohlo napadnout... děkuji:)

jardofpr · 14. 02. 2012 05:01

↑ Dunemaster:

nie je to vidno z tych nulovych riadkov?
cela matica B sa vynulovala, to znamena ze ju museli vynulovat v konecnom dosledku riadky matice A
keby sa robili ine riadkove operacie, vynulovali by sme maticu B
ten nulovy riadok znamena ze je lin.kombinaciou ostatnych (nenulovych) riadkov v matici
moze byt?

Matematické Fórum

#1 18. 01. 2012 19:55 — Editoval Mihulik (18. 01. 2012 20:19)

Průnik řádkových prostorů

#2 18. 01. 2012 20:44

Re: Průnik řádkových prostorů

#3 18. 01. 2012 21:05

Re: Průnik řádkových prostorů

#4 18. 01. 2012 21:07

Re: Průnik řádkových prostorů

#5 18. 01. 2012 22:20

Re: Průnik řádkových prostorů

#6 18. 01. 2012 22:46

Re: Průnik řádkových prostorů

#7 19. 01. 2012 07:45

Re: Průnik řádkových prostorů

#8 13. 02. 2012 19:43 Příspěvek uživatele Dunemaster byl skryt uživatelem Dunemaster.

#9 14. 02. 2012 05:01

Re: Průnik řádkových prostorů

Zápatí