Matematické Fórum

xducb100 · 20. 01. 2012 10:16

Ahoj,
vůbec si s tím nevím rady, poradíte mi někdo prosím s postupem?

Jaká musí být hodnota čísla q, aby přímka -8x+4y+q=0 byla tečnou grafu y=-x²+6x+1
Výsledek by měl být -20

a ještě pro normálu

Jaká musí být hodnota čísla q, aby přímka 2x+2y+q=0 byla normálou grafu y=2x²+9x-9
Výsledek by měl být 42

Díky moc.
B.

Aquabellla · 20. 01. 2012 10:47

↑ xducb100:

Ahoj, zkus si projít toto téma, řeší se tam to samé.

xducb100 · 20. 01. 2012 10:57

↑ Aquabellla:

To jsem procházla, než jsem sem napsala. Ale podle toho, jak to počítám, tak dělám asi někde chybu a vůbec mi nevychází to, co by mělo.. A děkuji za pomoc..

Honzc · 20. 01. 2012 11:12 — Editoval Honzc (20. 01. 2012 11:17)

↑ xducb100:
ad1.
1. Tečna grafu (tady tečna paraboly) má tu vlastnost, že má s tou parabolou pouze jeden společný bod (bod dotyku).
2. Toho využijeme. Z rovnice tečny vyjádříš $y$ . Mají-li se přímka s parabolou dotýkat, pak se v bodu dotyku rovnají i jejich y-ové souřadnice. Tedy položíš ypřímky = yparaboly.
Dostaneš kvadratickou rovnici. Aby přímka byla tečnou musí mít s parabolou pouze jeden společný bod. A teď otázka. Kdy má kvadratická rovnice pouze jedno řešení? No přece, když je diskriminant k.r. roven nule. Tak si napíšeš rovnici diskriminantu (ta bude obsahovat i neznámou $q$ ) položíš ji rovnu nule. Vypočítáš $q$ a je hotovo.
2. Tady využiješ toho, že nejdříve napíšeš rovnici tečny (tečna má směrový vektor kolmý na směrový vektor normály). Praktické vyjádření. Máš-li zadánu nějakou přímku v obecném tvaru např. $ax+by+c=0$ , pak přímka kolmá na tuto přímku má obecnou rovnici bx-ay+d=0
Toho tedy využiješ, napíšeš si obecnou rovnici tečny, (a zase stejně jako u př. 1) dosadíš a dostaneš kvadratickou rovnici. Z té spočítáš x-ovou souřadnici bodu dotyku (s výpočten diskriminantu se nemusíš počítet, neboť bude 0). Tuto vypočtenou x-ovou souřadnici dosadíš do rovnice paraboly a tak spočítáš y-ovou souřadnici bodu dotyku. Tento bod musí ležet i na normále (leží samozřejmě i na tečně-ale to nás nezajímá). Tak ho dosadíš do rovnice normály a z dané rovnice vypočítáš $q$

Aquabellla

↑ xducb100:

Tečna: $-8x + 4y + q = 0$ => $y = 2x - \frac{q}{4}$ . Takže směrnice tečny je $2$ .

Derivace: $f' = -2x + 6$ => $2 = -2x + 6$ => $x = 2$ - toto je bod dotyku.

Teď stačí dosadit do rovnice $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ a po úpravě mi vyšlo, že q = 20.

Už jsi našla chybu nebo mám to mám rozepsat dál? :-)

Cheop · 20. 01. 2012 11:16

↑ xducb100:
$-8x+4y+q=0\\y=\frac{8x-q}{4}$ toto dosadíme do rovnice paraboly
$\frac{8x-q}{4}=-x^2+6x+1\\8x-q=-4x^2+24x+4\\4x^2-16x-q-4=0$ aby to byla tečna, potom diskriminant této kv. rovnice D=0 (tečna bude mít s parabolu 1 společný bod)
$16^2-16(-q-4)=0\\16q+64+256=0\\16q=-320\\q=-20$
Máš vypočíráno

xducb100 · 20. 01. 2012 11:26

Nenašla.. Musím to nějak blbě dosazovat nebo nevím.. :(

xducb100 · 20. 01. 2012 11:30

↑ Cheop:
Děkuji Vám všem, hodně jste mi pomohli.. :) Hned přispívám sms.. :)

halogan · 20. 01. 2012 11:37

Nechci se do toho vměšovat, jen poznamenám, že postup od ↑ Aquabellla: není sice tak universální jako ten od ↑ Cheop:, ale využívá vlastností těch funkcí a je více "vidět" ten výsledek, je přirozenější. Když si to navíc člověk nakreslí, tak je to perfektně vidět.

Nejlepší je samozřejmě znát oba postupy.

xducb100 · 20. 01. 2012 11:49

↑ Cheop:
A s tou normálou to je taky tak?

Honzc · 20. 01. 2012 12:29

↑ xducb100:
Máš to ode mne napsané v příspěvku #4.

Cheop · 20. 01. 2012 13:32

↑ xducb100:
Př.2)
1)Normála nějaké křivky je přímka kolmá k tečně procházející tečným bodem
Normála má mít dle zadání rovnici:
$2x+2y+q=0$
Tečna bude kolmá k této přímce a bude tečnou k parabole $y=2x^2+9x-9$
Normálový vektor hledané tečny bude: $\vec{v}=(2;\,-2)$
Rovnice tečny bude:
$t:\,2x-2y+c=0\\y=\frac{2x+c}{2}$ toto je rovnice tečny k uvedené paraboly
Vypočteme souřadnice tečného bodu:
$\frac{2x+c}{2}=2x^2+9x-9\\4x^2+16x-18-c=0$ - diskriminant bude D=0(je to tečna) tedy:
$x=\frac{-16}{8}\\x=-2$ - x-ová souřadnice tečného bodu
Dopočteme y-ovou souřadnici tečného bodu - dosadíme x-ovou souřadnici do rovnice paraboly $y=2x^2+9x-9$ a dostaneme
$y=2\cdot(-2)^2+9\cdot(-2)-9\\y=8-18-9\\y=-19$
Souřadnice tečného bodu: $T=(-2;\,-19)$
Normála bude procházet tečným bodem - dosadíme souřadnice tohoto bodu do rovnice $2x+2y+q=0$ a dopočteme q
$2\xdot(-2)+2\cdot(-19)+q=0\\q=4+38\\q=42$
Rovnice normály:
$2x+2y+42=0\\x+y+21=0$