Matematické Fórum

Aquabellla · 20. 01. 2012 16:20

Zdravím, potřebovala bych poradit s jedním důkazem.

Dokaž, že jestliže jsou obrazy vektorů lineárně nezávislé, pak jsou i vektory lineárně nezávislé.

Zobrazení $\varphi: U\rightarrow V$ lineární, $U_1 \subseteq U$ . Potom $\varphi(U_1) = \{\varphi(u) \in V, u \in U_1 \}$ je obraz podprostoru $U_1$ .

Vektory $\vec{u_1}, ... , \vec{u_n}$ jsou lineárně nezávislé, pokud rovnice $x_1\vec{u_1} + ... + x_n\vec{u_n} = 0$ má pouze triviální řešení.

Nijak mě nenapadá, jak bych to dala dohromady, abych provedla důkaz.
Předem děkuji za každou pomoc.

Pavel Brožek · 20. 01. 2012 16:58

Ahoj,

zkoušela jsi to sporem?

Mihulik

Ahoj,
zdá se mi, že se to dá ukázat krásně přímo:

Nechť $f(x_{1}),\:f(x_{2}),\:...,f(x_{n})$ jsou obrazy vektorů $x_{1},\:x_{2},\:...,x_{n}$ a nechť rovnost $\alpha_{1}f(x_{1})+ \alpha_{2}\:f(x_{2})+ ...+ \alpha_{n}f(x_{n})=o$ je splněna pouze pro $\alpha_{1}=\alpha_{2}=...=\alpha_{n}=0$ .

Potom $\alpha_{1}f(x_{1})+ \alpha_{2}\:f(x_{2})+ ...+ \alpha_{n}f(x_{n})=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}f(x_{i})=f(\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}x_{i})$

Jelikož ovšem $\alpha_{1}=\alpha_{2}=...=\alpha_{n}=0$ máme $\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}x_{i}=0$ a opět jelikož $\alpha_{1}=\alpha_{2}=...=\alpha_{n}=0$ jsou vektory $x_{1},\:x_{2},\:...,\:x_{n}$ lin. nezávislé, což jsme chtěli ukázat.

Aquabellla · 20. 01. 2012 18:14

↑ Pavel Brožek:

Zkoušela, ale nedobrala jsem se výsledku.

↑ Mihulik:

Díky moc, tohle chápu a nevypadá to moc složitě, jen nevím, jestli by to napadlo mě samotnou :-)

Mihulik · 20. 01. 2012 18:23

Teď když nad tím ale přemýšlím, tak nemám úplně rozmyšleno, jestli je to jediná kombinace, která rovnosti vyhovuje (tedy jestli neexistuje jiná netriviální)... tím sporem je to bezpečnější:) použij to, co jsem napsal já, ale začni odzadu s tím, že předpokládáš, že daná kombinace je netriviální... a dostaneš se ke sporu s tím, že původní kombinace je triviální:)

vanok · 20. 01. 2012 18:55 — Editoval vanok (20. 01. 2012 18:59)

Ahoj ↑ Aquabellla:,↑ Mihulik:,↑ Pavel Brožek:

Ja by som ten dokaz napisal takto:
Predpokladajmme, ze pre skalary $x_1;...;x_n$ mame:
$x_1\vec{u_1} + ... + x_n\vec{u_n} = \vec 0$ .
Z toho
$\vec 0= \varphi( \vec 0)= \varphi( (x_1\vec{u_1} + ... + x_n\vec{u_n}) =x_1\varphi(\vec{u_1}) + ... + x_n\varphi(\vec{u_n})$
Akoze $\varphi(\vec{u_i}):i \in \{1,...,n\}$ su linearne nezavisle, mame
$x_1=...=x_n=0$ (jedine riesenie!)
co dokazuje,pytanu vlasnost.

Poznamka: Pouzil som notacie co vybrala Aquabellla.