Matematické Fórum

Mirgeee

Zdravím,
moc bych prosil o pomoc s následující úlohou.

Máme použít vzorec
$\dbinom{r}{r} + \dbinom{r+1}{r} + \dbinom{r+2}{r} ...+\dbinom{n}{r} = \dbinom{n+1}{r+1}$
na vyjádření následujících součtů:
$\sum_{i=2}^{n}i*(i-1)$ a $\sum_{i=1}^{n}i^2$
a pak pomocí těchto tří spočítat
$\sum_{i=1}^{n}i^3$

Nedochází mi souvislost mezi tím vzorcem a součtem čtverců nebo krychlí.
Díky moc za jakoukoli radu

EDIT: Při vyjadřování prvních dvou součtů se má použít první vzorec pro r = 2, při vyjadřování posledního součtu se má použít první vzorec pro r = 3.

jardofpr · 21. 01. 2012 07:24

↑ Mirgeee:

ahoj,
dobrým začiatkom by mohla byť úprava zápisu
$\sum_{i=2}^{n} i(i-1) = \sum_{i=2}^{n} \left( \begin{array}{c} i\\1 \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} i-1\\1 \end{array}\right)$

tam už je dosť vidieť čo ďalej ;-) (teda ak je cieľom vyjadriť tie súčty kombinačným číslom)

Mirgeee · 21. 01. 2012 12:33

No, asi to není vidět dost pro mě :) Mohl bys to prosím trochu rozepsat? Mně se podařilo vyjádřit
$\sum_{i=1}^{n}i^2 = 2\dbinom{n+1}{3} + \dbinom{n+1}{2}$
a zároveň si myslím, že by mi mělo vyjít, že
$\sum_{i=1}^{n}i^3 = \dbinom{n+1}{2}^2$
ale za Boha se mi to nemůže podařit...
Navíc koukám, že jsem nepřepsal zadání úplně přesně, tak to editnu.

vanok · 21. 01. 2012 13:26

↑ Mirgeee:,
Tvoj "slovnik " ma sokuje a nerespektuje ludi co maju moznu inu citlivost na to ako ty.
(cf. predposledny riadok tvojej poslednej intervencie)
Nepouzivaj na matematicke komunikacie vyrazy co by si nepouzil, napriklad, na tvojej skuske na univerzite.

Mirgeee · 21. 01. 2012 13:34

↑ vanok:
Omlouvám se. Nepokusil by ses, prosím, odpovědět na mojí otázku?

vanok · 21. 01. 2012 13:44 — Editoval vanok (21. 01. 2012 13:47)

↑ Mirgeee:,
Ok, konstruktivny dialog je vzdy pozitivny!

Ak ti ide o pouzitie prvej relacie:
tak ja by som pouzil, ze $\frac {(i-1)i}2= {i\choose 2}$

A ak si pozres do starsych stran tu na fore, uvidis ze viacery kolegovia ( aj ja) uz riesili podobne problemy

jardofpr · 21. 01. 2012 14:06

↑ Mirgeee:

prepáč, venoval som sa inému problému, až teraz som si všimol že si už reagoval ..
vďaka ↑ vanok: :)

vanok · 21. 01. 2012 14:11

↑ jardofpr:,
ok, necham ti tu radost, davat pomoc na toto klasicke cvicenie.

Mirgeee · 21. 01. 2012 14:14

↑ vanok:
Ano, tuto identitu jsem použil, ale dostal jsem se pouze k výše zmíněnému. Abych byl konkrétní, nevím, jak použít
$\sum_{i=1}^{n}i^2 = 2\dbinom{n+1}{3} + \dbinom{n+1}{2}$
a
$\sum_{i=1}^{n} \dbinom{i}{3} = \dbinom{n+1}{4}$
(asi k tomu předpokládanému výsledku $\sum_{i=1}^{n}i^3 = \dbinom{n+1}{2}^2$ )

Rád bych se podíval na starší vlákna, ale co mám hledat?

jardofpr · 21. 01. 2012 14:14

↑ vanok:

tak to nebolo myslené

Mirgeee · 21. 01. 2012 20:40

Mohl byste mi tedy někdo poradit s tímto "klasickým cvičením"???

vanok · 21. 01. 2012 21:18 — Editoval vanok (21. 01. 2012 21:18)

↑ Mirgeee:,
vidim ze sa to nehybe!

Dobre tak trochu pomoci

Dany vzorec

$\dbinom{r}{r} + \dbinom{r+1}{r} + \dbinom{r+2}{r} ...+\dbinom{n}{r} = \dbinom{n+1}{r+1}$
Nam da pre $r=1$
(sice sa to nepyta priamo v cviceni, ale je to uzitocne vediet)

TO JE TVOJA PRACA TO DOPLNIT

a potom ten isty vzorec nam da pre $r=2$

DOPLNIT

A nezastav sa na tejto dobrej ceste, napis co to da pre $r=3$

Ak treba dam dalsie indikacie... po kontrole tvojich vysledkov ...a toho ake uzitocne vzorce to dovolilo napisat.

Mirgeee · 22. 01. 2012 14:34

↑ vanok:
Daný vzorec nám pro r = 1 ukáže, že součet prvních n členů aritmetické posloupnosti a s a_1 = 1 a diferencí 1 se rovná $\dbinom{n+1}{2}$ .
Pro r = 2 vidíme, že součet prvních n členů posloupnosti b_1 = 1, b_n=b_(n-1) + a_n se rovná $\dbinom{n+1}{3}$ z Pascalovy identity, podobně pro r = 3.
Je evidentní, že $\sum_{i=2}^{n}i*(i-1) = 2* \dbinom{n+1}{3}$ a $\sum_{i=1}^{n}i^2 = 2\dbinom{n+1}{3} + \dbinom{n+1}{2}$ .
Zjevně asi potřebuju další indicie :)

vanok · 22. 01. 2012 14:51

↑ Mirgeee:↑ Mirgeee:,
Co si napisal je dobre ( tym sa konci dokaz)
Mozno je to lepie, po tych vysledkoch co si ukazal,lepsie takto vyjadrit
( aby sa lepsie videl cely tvoj matematicky postup)

$\sum_{i=2}^{n}i*(i-1)=2{i\choose 2}$ , ako sme uz povedali
a tiez
$\sum_{i=2}^{n}i*(i-1)=\sum_{i=2}^{n}(i^2-i)=\sum_{i=2}^{n}i^2-\sum_{i=2}^{n}i$
co nam da, vdaka....

AKO SA MI ZDA? tvoj problem nie je ani tak nast prvky dokazu, ale to dat vsetko dokopy...

Tak dobre pokracovanie.
POZNAMKA 1: vdaka vzorcu co je dany v cviceni sa vyhnes indukcii!
POZNAMKA 2: na ine metody, co sa tyka otazok vo cviceni hladaj na google a aj tu na fore ( ak ta to zaujima)

Matematické Fórum

#1 20. 01. 2012 23:58 — Editoval Mirgeee (21. 01. 2012 12:34)

Kombinatorický důkaz

#2 21. 01. 2012 07:24

Re: Kombinatorický důkaz

#3 21. 01. 2012 12:33

Re: Kombinatorický důkaz

#4 21. 01. 2012 13:26

Re: Kombinatorický důkaz

#5 21. 01. 2012 13:34

Re: Kombinatorický důkaz

#6 21. 01. 2012 13:44 — Editoval vanok (21. 01. 2012 13:47)

Re: Kombinatorický důkaz

#7 21. 01. 2012 14:06

Re: Kombinatorický důkaz

#8 21. 01. 2012 14:11

Re: Kombinatorický důkaz

#9 21. 01. 2012 14:14

Re: Kombinatorický důkaz

#10 21. 01. 2012 14:14

Re: Kombinatorický důkaz

#11 21. 01. 2012 20:40

Re: Kombinatorický důkaz

#12 21. 01. 2012 21:18 — Editoval vanok (21. 01. 2012 21:18)

Re: Kombinatorický důkaz

#13 22. 01. 2012 14:34

Re: Kombinatorický důkaz

#14 22. 01. 2012 14:51

Re: Kombinatorický důkaz

Zápatí