Matematické Fórum

k.kube · 22. 09. 2008 19:20 — Editoval k.kube (22. 09. 2008 20:14)

Mám vypočítat povrch kvádru o objemu 15 dm krychl., jehož hrany jsou v poměru 3:5:8. Nevím si s tím rady, děkuji za pomoc.

Pavel Brožek

Protože jsou hrany a, b, c v poměru 3:5:8, tak existuje nějaké číslo x takové, že $a=3x$ , $b=5x$ , $c=8x$ . Objem kvádru je pak

$V=abc=3x\cdot5x\cdot8x\cdot=120x^3$ .

Z toho vyjádříme x:

$x=\sqrt[3]{\frac V{120}}$

Pro povrch kvádru máme vzorec

$P=2(ab+bc+ac)=2(3x\cdot5x+5x\cdot8x+3x\cdot8x)=2\cdot79x^2=158x^2=158\left(\sqrt[3]{\frac V{120}}\right)^2$

Stačí dosadit a máme povrch v decimetrech čtverečních.

$P=158\left(\sqrt[3]{\frac {15}{120}}\right)^2=39,5\,\textrm{dm}^2$

Edit:
↑ k.kube:
Jak to děláš, že jsi už odeslal dva příspěvky a přitom máš u sebe napsáno "Příspěvky: 1" ? :-)

k.kube · 22. 09. 2008 22:09

↑ BrozekP:díky za snahu, ale takhle to vypočetla moje starší segra a učitelka řekla, že tak nee...3. odmocninu jsme ještě nebrali, musí to mít ještě jiný postup...

jelena · 22. 09. 2008 23:56 — Editoval jelena (23. 09. 2008 16:47)

↑ k.kube:

Zdravím :-)

je to v podstatě totež, jako u kolegy BrozekP, ale možna se dá použit, pokud jste 3. odmocninu nebrali:

strany a, b, c jsou v poměru 3:5:8, můžeme vše vyjádřit přes jednu stranu:

a:b=3:5, odsud $a=\frac35\cdot{b}$

b:c=5:8, odsud $b=\frac58\cdot{c}$

a:c = 3:8, odsud $c=\frac83\cdot{a}=\frac83\cdot{\frac35\cdot{b}}$

$V=abc=\frac35\cdot{b}\cdot{b}\cdot{\frac83\cdot{\frac35\cdot{b}}}$ -edit - zde jsem smazala "mezizlomek" po abc před posledním =, který zůstal po kopirování

$15=\frac{24}{25}\cdot{b}\cdot{b}\cdot{b}$

$\frac{15\cdot{25}}{24}={b}\cdot{b}\cdot{b}$

$\frac{5\cdot{25}}{8}={b}\cdot{b}\cdot{b}$

$\frac{5\cdot{5}\cdot{5}}{2\cdot{2}\cdot{2}}={b}\cdot{b}\cdot{b}$

$\frac{5\cdot{5}\cdot{5}}{2\cdot{2}\cdot{2}}={b}\cdot{b}\cdot{b}$

$\frac{5}{2}={b}$

---------------------------------
Ke stejnému výsledku se dopracujeme, pokud bychom použili od BrozekP tento zápis:

$V=120x^3$

$15=120x^3$ .

$\frac{1}{8}=x\cdot{x}\cdot{x}$

----------------------------------------------------

A úplně na závěr se dá docela hrdinně zatvařit, že je dobře vidět, že 15 můžeme zapsat jako:

$15= \frac32\cdot{\frac52}\cdot{\frac82}$

a kdo by tomu dnes uvěřil, když jsem dala důvod pochybovat, zda jsem vůbec kdy viděla kvadr :-(