Matematické Fórum

sneakfast

zdravím, mám takový celkem hloupý problém.. ve skriptech jsem nalezl větu, které nevěřím, potřeboval bych poradit s objasněním.

Věta: Jestliže pro uzavřené intervaly $I_n(n \in N)$ platí $I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \ldots$ , pak $\bigcap_{n \in N}I_n \neq \emptyset$ Jestliže navíc délky intervalů I_n klesají k nule, pak je tento průnik jednobodový.

Podle mě nemůže být jednobodový, protože to je spor s definicí intervalu, ve kterém se podle skript, ze kterých čerpám, jako uzavřený interval bere <a, b> tak, že a < b .

diky za odpoved:)

Lukee · 13. 11. 2007 16:28

sneakfast napsal(a):
*nevím jak tu přeškrtlou nulu zapsat :)

\emptyset ;-)

sneakfast · 13. 11. 2007 23:01

opraveno..

mě by bylo všechno jasné, kdyby definice intervalu připouštěla interval degenerovaný, potom bych i přes tu poměrně vágní formulaci "délky klesají k nule" neměl problém. Ale zajímalo by mě, jestli je možné tuto větu dokázat i bez degenerovaných intervalů, snad nějak limitně?

Kondr · 13. 11. 2007 23:16

$\bigcap_{n \in N}I_n$ je množina, která obecně nemusí být intervalem, může mít pouze jeden prvek. (Zřejmě průnik konečně mnoha intervalů je interval, ale pokud děláme průnik přes nekonečnou množinu, tak to platit nemusí.)

sneakfast · 14. 11. 2007 00:11

Mějme dva intervaly I_n, I_{n+1} tak, že platí I_{n+1} je podmnožinou I_n.

Průnikem intervalů I_n a I_{n+1} je interval I_{n+1}.

Je dána množina intervalů I_k; k = 1,2,3,...
Pro každé I_k platí: I_{k+1} je podmnožinou I_k.

Indukce:
Pokud I_k, I_{k+1} jsou intervaly, jejich průnikem je I_{k+1}, což je interval.
Pro I_1 a I_2 zjevně platí podle definice intervalu.

je tedy možné, že pro libovolné k platí výše uvedené, ale v limitě interval zdegeneruje?
nebo je i v této úvaze chyba?

Kondr · 14. 11. 2007 01:21

Tato úvaha korektně dokazuje to, o čem jsem psal:průnik konečně mnoha intervalů je interval.

Pro nekonečnou indexovou množinu to ale neplatí a pokud bychom si definovali limitu posloupnosti intervalů, pak by se v tomto případě stalo, že by nebyla intervalem, ale jednoprvkovou množinou.

Marian · 15. 11. 2007 14:03 — Editoval Marian (15. 11. 2007 14:05)

Posledni sneakfastuv prispevek bych chtel dodatecne jeste doplnit. Kdyby bylo skutecne splneno, ze delky intervalu I_{n} by konvergovaly k nule pro $\scriptsize{n\to \infty}$ , pak bys mohl dokazat tvrzeni o degeneraci intervalu v izolovany bod napriklad sporem. Presneji myslim toto:

Necht delka intervalu $I_{n}$ je oznacena $|I_n|$ pro vsechna $n\in\mathbb{N}$ a

$\lim_{n\to\infty}|I_n|=0$ .

Predpokladejme sporem, ze mnozina

$I:=\bigcap_{n=1}^{\infty}I_n$ je intervalem, tedy existuje dvojice $(\alpha ,\beta )\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ takova, ze $I=[\alpha ,\beta]$ , $\alpha <\beta$ . Pak se da snadno ukazat, ze lze nalezt takove prirozene cislo $n_0$ , ze pro vsechna $n\ge n_0$ , $n\in\mathbb{N}$ , plati

$[\alpha ,\beta]\supset \bigcap_{k=1}^{n}I_k$ , coz je jasny spor s predpokladem o tom, ze interval $[\alpha ,\beta]$ je casti kazdeho z intervalu $I_n$ , $n\in\mathbb{N}$ .

sneakfastem uvedena veta se velice dobre hodi k nadhernemu dukazu o nespocetnosti mnoziny vsech realnych cisel pomoci trisekce jednotkoveho intervalu.