Matematické Fórum

FlyingMonkey · 22. 01. 2012 15:28

Dobrý den,

zase ty důkazy ;) Tohle mi přijde tak jednoduchý, až nevím, jak na to :D

Dokažte tyto věty:

a) Je-li posloupnost rostoucí, pak je neklesající.

Je mi jasné, že to platí, ale nevím, jak to exaktně zapsat ...

Jednoduše bych řekl, že pokud je neklesající, pak buď roste nebo je konstantní na určitém intervalu. Musí potom tedy platit pro neklesající posloupnost:

$\forall n\in N_{1}$ : $a_{n+1} \ge a_{n}$

pro rostoucí platí:

$\forall n\in N_{2}:$ $a_{n+1} > a_{n}$ :

můžu pak zapsat důkaz takto?

$N_{2}\subset N_{1} \Rightarrow \text{Pokud je posloupnost rostoucí, musí být nutně neklesající.}$

Díky, snad tam jsou ty myšlenkové pochody jasné, kdyžtak to přiblížím, kdyby to nebylo zřejmé :))

jrn · 22. 01. 2012 16:14 — Editoval jrn (22. 01. 2012 16:17)

Ahoj.
a) Je-li posloupnost rostoucí, je neklesající.
Bude nejlepší vyjít z definice rostoucí/neklesající posloupnosti, kterou já myslím toto:

(1) $(\forall n \in \mathbb{N})(a_n \le a_{n+1})$

Definice ostře či ryze rostoucí posloupnosti je takhle
(2) $(\forall n \in \mathbb{N})(a_n < a_{n+1})$
z této definice je vidět, že neexistuje $n\in \mathbb{N}$ pro které by $a_n = a_{n+1}$
takže bych řekl že dukaz je hotov.
Určitě to myslíš správně, ale v tvém zápise bych si asi dal pozor jak indexuješ tu množinu přirozených čísel, protože definice vypadají jinak.

vanok · 22. 01. 2012 16:23

POZNAMKA:
Tato implikacia plati:
$(\forall n \in \mathbb{N})(a_n < a_{n+1})\Rightarrow (\forall n \in \mathbb{N})(a_n \le a_{n+1})$

Ale $(1)\Rightarrow (2)$ nie
protipriklaad
Vdaka $(1)$ mozes mat $a_n = a_{n+1}$ , ale $(2)$ to vylucuje.

Matematické Fórum

#1 22. 01. 2012 15:28

Posloupnosti a řady - důkazy?!

#2 22. 01. 2012 16:14 — Editoval jrn (22. 01. 2012 16:17)

Re: Posloupnosti a řady - důkazy?!

#3 22. 01. 2012 16:23

Re: Posloupnosti a řady - důkazy?!

Zápatí