Matematické Fórum

Zdravím,

pokud se to podaří, tak jen v nějakém speciálním případě. Obecně (pokud je pravý úhel u vrcholu C, přepona c, výška na přeponu v_c), potom po zobrazení máme trojúhelník se stranou="základnou" A´B´=c a výškou - tak strašně jsem to "nakreslila" ařekla bych, že jednotlivé vztahy půjdou odvodit - tedy toto je námět.

↑ cicero:

ne, bohužel, to jsem pravě chtěla ukázat, že obecně pravoúhlý trojúhelník nevznikne.

Potřebujeme dokázat/vyvrátit, že vznikly trojúhelník A´B´C´není pravoúhlý (u žádného vrcholu není pravý úhel). Že není u vrcholu A´nebo B´, tak, jak píšeš - v malém trojúhelníku C´XA´nebo C´XB´nemůže být 2 pravé úhly.

Že není pravý úhel u vrcholu C´ - sporem. Předpokládáme, že trojúhelník A´B´C´je pravoúhlý, potom pro něho platí Eukleidova věta o výšce, , potom , což neplatí, z osové souměrnosti máme .

Snad tak, geometrické důkazy jsem nedělala více, jak 30 let. Odkud je úloha? Děkuji.

↑ cicero:

děkuji, téma přesunu do Zajímavých pro SŠ, ať se na důkaz podívá někdo ze zdatnejších kolegů - olympiády neřeším. Kolegům děkuji.

Nejsem si jistá, zda můžeme v důkazu jen napsat, že "nedokážeme", to bychom museli ještě dokázat, že nedokážeme.

Zdárnou přípravu přeji.

↑ cicero: Ano, tím jsi dokázal, že nemůře být pravý úhel u vrcholu C', ještě je ale potřeba dokázat že nemůže být ani u vrcholů A' a B'. To se dá udělat třeba takhle:

Sporem: Předpokládejme, že je pravý úhel u vrcholu B' (pro vrchol A je to důkaz stejný). Výška na stranu c' prochází bodem C (předpokládám, že to umíš dokázat), a také bodem B' (předpokládáme tam pravý úhel). Z toho plyne, že bod C leží na straně B'C'. Dále platí, že trojúhelníky A'B'C a ABC jsou schodné (středově souměrné podle bodu C). Z toho dostáváme, že úhel A'CB' je pravý. Současně je ale pravý i úhel A'B'C. To však znamená. že trojúhleník A'B'C má dva pravé úhly. Což je spor.