Matematické Fórum

xducb100 · 22. 01. 2012 15:11

Ahoj, chtěla bych Vás poprosit, zda by jste mi sem někdo mohl napsat postup. Vůbec nevím, jak se takový typ příkladů počítá. Moc Vám děkuji.

$\frac{1}{\pi } \int_{-2}^{\frac{-1}{3}}\frac{45dx}{9x^{2}+36x+61}$

Výsledek má vyjít 0.75

Aquabellla · 22. 01. 2012 15:34

$\frac{1}{\pi } \int_{-2}^{-\frac{1}{3}}\frac{45dx}{9x^{2}+36x+61} = \frac{1}{\pi } \int_{-2}^{-\frac{1}{3}}\frac{45dx}{9(x^{2}+4x+\frac{61}{9})} = \frac{5}{\pi } \int_{-2}^{-\frac{1}{3}}\frac{dx}{(x^{2}+4x+4) - 4 + \frac{61}{9}} = \nl = \frac{5}{\pi } \int_{-2}^{-\frac{1}{3}}\frac{dx}{(x + 2)^2 + \frac{25}{9}} = \frac{5}{\pi } \int_{-2}^{-\frac{1}{3}}\frac{dx}{\frac{25}{9}(\frac{9}{25}(x + 2)^2 + 1)} = = \frac{5}{\pi} \frac{9}{25}\int_{-2}^{-\frac{1}{3}}\frac{dx}{(\frac{3x + 6}{5})^2 + 1}$

Teď stačí udělat substituci, abys dostal $\frac{1}{t^2 + 1}$ což je arkustangens.

xducb100 · 22. 01. 2012 15:50

↑ Aquabellla: A ta substituce se provadí jak? Vím, že to je nahrazení za ty hodnoty, co tam jsou jednoduššíma a potom zpět, ale neumím to použít přímo na příkladu. Poradíš mi prosím ještě s posupem? Moc děkuji..

xducb100 · 22. 01. 2012 16:02

↑ Aquabellla: A ještě jsem se chtěla zeptat na ten třetí krok výpočtu 45/9 a přesunu před Integrál, to mi je jasný, ale jak mi tam výjde:

$(x^{2}+4x+4)-4 +\frac{61}{9}$

a to samý v 5. kroku pod zlomkem... To se počítá podle nějakýho vzorečku?

Aquabellla

↑ xducb100:

Substituce: $t = \frac{3x + 6}{5}$
$dt = \frac35 dx$
$\frac53 dt = dx$
Transponování mezí: $t = \frac{3(-2) + 6}{5} = 0$
$t = \frac{3(-\frac13) + 6}{5} = 1$

Takže dostaneš integrál:
$= \frac{5}{\pi} \frac{9}{25} \frac{5}{3}\int_{0}^{1}\frac{dt}{t^2 + 1} = \frac{3}{\pi} \int_{0}^{1}\frac{dt}{t^2 + 1}$

Teď stačí výraz zintegrovat a dosadit meze.

↑ xducb100:
Jelikož jmenovatel nemá reálný kořen a v čitateli není proměnná, tak úprava vede na $\frac{1}{t^2 + 1}$ , čehož dosáhneme tak, že nejdříve jmenovatel doplníme na čtverec, poté vytkneme číslo ze jmenovatele tak, aby tím druhým sčítancem byla jednička, a zasubstituujeme to, co je u proměnné.