Matematické Fórum

etchie · 22. 01. 2012 13:11 — Editoval etchie (22. 01. 2012 13:23)

z publikácie zbierka úloh riešim úlohu 1 zo strany 71:
"Z desky tvaru trojúhelníku, jehož základna je a, výška k základně je v, má být vyříznuta obdélníková deska maximálního obsahu, přičemž jedna strana obdélníku je částí základny. Určete rozměry obdélníku."

úlohu viem vyriešiť pomocou použitia parciálnych derivácií, avšak v teoretickej časti tej publikácie ani v príkladoch sa žiadne parciálne derivácie nespomínajú. preto ma hneď napadlo, či existuje aj iný postup, bez parciálnych derivácií. to by som však zrejme potreboval dostať do nejakého vzťahu spomínaný obdĺžnik s trojuholníkom, a to sa mi nepodarilo. dá sa to ?
ďakujem.

ešte na upresnenie:
strany obdĺžnika označím ako "m" a "n" a dostanem ich do vzťahu s "a" a "v", ale vo výslednom upravenom vzťahu mi potom vystupujú 2 premenné "m" a "n" a 2 konštanty "a" a "v". a keďže premenné sú 2 tak ich derivujem parciálne. ak by však existoval nejaký vzťah, kde sa viem zbaviť m alebo n, tak by to išlo bez parciálnych derivácií.

jelena · 22. 01. 2012 19:50

Zdravím,

tato úloha byla na fóru určitě řešena (i opakovaně - zkus pohledat). Správně uvažuješ, že je třeba se dopracovat k zápisu obsahu obdélníku jako funkce jedné proměnné. Pokud použiješ podobnost trojúhelníků - "malý horní" a "velký původní", potom máš $\frac{m}{a}=\frac{v-n}{v}$ , pohodlnější bude označení x - základna obdélníku, y - výška obdélníku.

$\frac{x}{a}=\frac{v-y}{v}$ , odsud můžeš vyjádřit y=... (jako funkce x) a dosadit do $S=xy$ . Stačí tak na úvod? Děkuji.

etchie · 22. 01. 2012 20:30

ďakujem za info
našiel som to tu Slovní úloha: obdélník v trojúhelníku a tu Slovní úloha: obdélník maximálního obsahu vepsaný do trojuhelníku
ešte som to neštudoval, stačí mi info, že sa to dá vypočítať, tak idem skúsiť, či na to predsa len neprídem sám...

etchie · 22. 01. 2012 23:30

↑ jelena:

tak už som sa s tým vytrápil sám a došiel presne k tomu istému riešeniu, čo popisuješ.
celý problém bol v tom, že som si nikdy neuvedomil, že ak sú trojuholníky podobné, tak nemajú v pomere len svoje strany, ale aj svoje výšky. ak som sa to aj voľakedy dávno učil, tak som na to kompletne zabudol. no a teraz som opať objavil "teplú vodu".

ešte späť k riešeniu pomocou parciálnych derivácií:
je v poriadku riešiť takéto a podobné príklady pomocou parciálnych derivácií ? nehrozí tam niečo ?
teda, ak sa mi vo výslednom vzťahu objaví viac premenných, môžem na nich beztrestne použiť parciálne derivovanie a prídem vždy k rovnakému výsledku ?

prípadne, ak mám v úlohe ešte zadané, že treba overiť, či naozaj ide o lokálne maximum / minimum, tak použitím druhej derivácie to viem overiť. ak ale riešim úlohu pomocou parciálnych derivácii (lebo som lenivý alebo nevidím spojitosť vo vzťahoch), tak je nejako možné overiť minimum / maximum ?

jelena · 23. 01. 2012 00:05

↑ etchie:

To je dobře, že se podařilo. V těchto případech buď se uvažuje podobnost nebo se použije goniometrická funkce. Pomocí parciálních derivací také se dá řešit (jako vyšetření extrému funkce více proměnných), nějaká úskalí bych neviděla, pokud dodržíš postup vyšetření.

Ano, může se stát, že zároveň lze najít více lokálních extrému - potom je třeba vybrat (ověřit) takový extrém, který byl požadován. Možná i takový příklad najdeš ve sbírce, ať se vede. Někdy je třeba stanovit také podmínky platnosti výsledků a úprav. jelikož obvykle jsou to úlohy "praktického obsahu", potom veškeré výsledky musí být nezáporné.

Ať se vede.

Matematické Fórum

#1 22. 01. 2012 13:11 — Editoval etchie (22. 01. 2012 13:23)

slovná úloha na deriváciu

#2 22. 01. 2012 19:50

Re: slovná úloha na deriváciu

#3 22. 01. 2012 20:30

Re: slovná úloha na deriváciu

#4 22. 01. 2012 23:30

Re: slovná úloha na deriváciu

#5 23. 01. 2012 00:05

Re: slovná úloha na deriváciu

Zápatí