Matematické Fórum

planck · 22. 01. 2012 15:08 — Editoval planck (22. 01. 2012 15:16)

Zdravím,

potřeboval bych poradit se setrojením integralu pro výpočet hmotnosti tělesa daného vztahy:

$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}\le 1 ; z\ge 0; x+y+z\le 10$

Hustota tělesa je: $\varrho(x,y,z) =z^{2}$

Jedná se tedy o šikmo seříznutý válec se stredem podstavy v bode (2,3,0).
Využil jsem substituce do cilindrických souřadnic, tedy x=r cos(fi), y= r sin(fi), z= z a dále jsem určil element objemu dV= r dr dfi dz a nakonec sestavil trojny integral:

$\int_{r=0}^{1}\int_{\varphi =-\pi }^{\pi }\int_{z=0}^{10-x-y}z^{2}. r. dr.d\varphi. dz$
vysledek: $(15\pi +2)/9$
Potřeboval bych vědět, zdali jsem to sestavil spravne a je vysledek, ktrery mi vysel spravny.
Este opravim chybku: posledni mez v integralu by měla byt us asi rovnou posubstituci takze by mela byt
$5-r (Cos(\varphi )+Sin(\varphi ))$
a Wolfram hlásí $265\pi /6$

jardofpr · 23. 01. 2012 00:52

↑ planck:
ahoj,
pravdepodobne to dobre nebude lebo medze
$0 \leq r \leq 1$
$-\pi \leq \varphi \leq \pi$

predstavujú jednotkový kruh so stredom v [0,0], nie so stredom v [2,3] v rovine [xy]
teda valec ktorý je tvojimi medzami popísaný je zrezaný v inej výške a má teda aj iný objem ako ten čo hľadáš

planck · 23. 01. 2012 10:36

↑ jardofpr: A po nápravě těch mezí by us to mělo být ok?

jardofpr · 23. 01. 2012 13:17

↑ planck:

nevšimol som si že si už transformoval aj tretiu medzu a posunul si celý ten valec do nuly

takže PREPÁČ, máš to zostavené správne :)

pravdepodobne si urobil len niekde chybu pri výpočtoch, výsledok tvojho integrálu je $265\pi /6$

Matematické Fórum

#1 22. 01. 2012 15:08 — Editoval planck (22. 01. 2012 15:16)

Výpočet hmotnosti tělesa daného vztahy:

#2 23. 01. 2012 00:52

Re: Výpočet hmotnosti tělesa daného vztahy:

#3 23. 01. 2012 10:36

Re: Výpočet hmotnosti tělesa daného vztahy:

#4 23. 01. 2012 13:17

Re: Výpočet hmotnosti tělesa daného vztahy:

Zápatí