Cipisek · 23. 09. 2008 18:36

Zdravím potřeboval bych poradit s odmocnovaním komplexniho cisla.

Olin · 23. 09. 2008 18:51 — Editoval Olin (23. 09. 2008 18:54)

Tak zrovna toto je svým způsobem dost výjimečný příklad, na kterém se odmocňování komplexních čísel moc vysvětlit nedá :-)

Aby to bylo názorné, půjdu tou složitější cestou, kterou se obvykle komplexní čísla na SŠ odmocňují. Tj. přepíšu si odmocňované číslo do goniometrického tvaru. Snadno zjistíme, že

$-4 = 4 \cdot (\cos (\pi + 2k\pi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\pi + 2k\pi))$

Protože jde o druhou odmocninu, budu uvažovat dvě hodnoty k, a to právě 0 a 1.

pro k = 0:

$\sqrt{-4} = \sqrt{4} \cdot (\cos \pi + \mathrm{i} \cdot \sin \pi)^{\frac 12} = 2 \cdot \left(\cos \frac{\pi}{2} + \mathrm{i} \cdot \sin \frac{\pi}{2}) = 2 \mathrm{i}$

kde jsme v druhém kroku využili Moivreovy věty.

Pro k = 1:

$\sqrt{-4} = \sqrt{4} \cdot (\cos 3\pi + \mathrm{i} \cdot 3\sin \pi)^{\frac 12} = 2 \cdot \left(\cos \frac{3\pi}{2} + \mathrm{i} \cdot \sin \frac{3\pi}{2}) = -2 \mathrm{i}$

Jinou možností je říct si, že

$\sqrt{-4} = a + b \mathrm{i}$

kde $a, b \in \mathbb R$

Po umocnění na druhou dostáváme

$-4 = (a + b \mathrm{i})^2 = a^2 + 2ab \mathrm{i} - b^2$

Vidíme, že a = 0 aby byla imaginární část na pravé straně nulová a aby byla reálná část záporná (kdyby bylo b = 0, zůstane na pravé straně $a^2$ , což je nutně nezáporné). Z toho už snadno dostaneme výsledek

$\sqrt{-4} = \pm 2 \mathrm{i}$

Chrpa · 23. 09. 2008 20:33

↑ Cipisek:
Dalo byse to udělat i takto:

Protože $i^2=-1$ potom lze příklad přepsat na tvar

$\sqrt{ -4}=\sqrt {4i^2}=\pm2i$

Olin · 23. 09. 2008 21:40

↑ Chrpa: Jasně že dalo, jenom tam pak není začátečníkovi možná úplně zřejmé, proč je tam to plus mínus… Proto jsem to tak rozepisoval.

Richard Tuček · 24. 09. 2008 11:18

Fatal error: Uncaught TypeError: in_array(): Argument #2 ($haystack) must be of type array, null given in /data/web/virtuals/279283/virtual/www/geshi.php:1631 Stack trace: #0 /data/web/virtuals/279283/virtual/www/geshi.php(1631): in_array('\n', NULL) #1 /data/web/virtuals/279283/virtual/www/geshi.php(2903): GeSHi->parse_code() #2 /data/web/virtuals/279283/virtual/www/funkce.php7.php(239): geshi_highlight('------------', 'scheme', 'geshi/', true) #3 /data/web/virtuals/279283/virtual/www/funkce.php7.php(128): zvyrazni('------------') #4 [internal function]: {closure}(Array) #5 /data/web/virtuals/279283/virtual/www/funkce.php7.php(129): preg_replace_callback('/\\[scheme\\](.*)...', Object(Closure), '<p><a href="#p2...') #6 /data/web/virtuals/279283/virtual/www/viewtopic.php(441): compileText('<p><a href="#p2...', Array, '1222247884') #7 {main} thrown in /data/web/virtuals/279283/virtual/www/geshi.php on line 1631

#1 23. 09. 2008 18:36

Komplexni cisla-odmocnina

#2 23. 09. 2008 18:51 — Editoval Olin (23. 09. 2008 18:54)

Re: Komplexni cisla-odmocnina

#3 23. 09. 2008 20:33

Re: Komplexni cisla-odmocnina

#4 23. 09. 2008 21:40

Re: Komplexni cisla-odmocnina

#5 24. 09. 2008 11:18

Re: Komplexni cisla-odmocnina