Matematické Fórum

Lekejs · 24. 01. 2012 19:24

čau všichni, potřeboval bych s pomoct s tímhle...

děkuji moc...

Rumburak

Ahoj.

Začni tím, že najdeš matici A typu [3,3] takovou, aby danou soustavu bylo možno zapsat ve vektorovém tvaru ${\vec x}\,' = A \vec x$ .
Existuje teorie, jak se takovéto rovnice řeší. Najdu-li odkaz, napíši ho sem.

Rumburak

Tak třeba zde .

Lekejs · 02. 02. 2012 20:10

↑ Rumburak:
a kde se tam vzalo to cos 2x??

Rumburak · 03. 02. 2012 09:56

↑ Lekejs:
Viz Homogenní rovnice, Eulerova metoda:
Charakteristická rovnice $\mathrm{det}(A-\lambda E) = 0$ zde vyjde ve tvaru $\lambda^2 + 4 = 0$ s kořeny $\lambda_{1,2}= \pm 2\mathrm{i}$ , avšak funkce

(1) $\mathrm{e}^{\lambda_j x} = \mathrm{e}^{ \pm 2\mathrm{i}x} = \cos 2x \pm \mathrm{i} \sin 2x$ ,

které jsou v konstrukci obecného řešení použity, nabývají obecně komplaxních hodnot. To se nám může hodit pouze v případech, kdy nás zajímá řešení DR
v komplexním oboru. Je ale řada praktických úloh, kdy mají smysl pouze reálná řešení úlohy. Ta dostaneme tak, že v roli funkcí (1) použejeme v té konstrukci
funkce $\cos 2x , \sin 2x$ . Jde pouze o přechod k jiné bázi prostoru řešení. Pokud bychom ve vektorech $\vec{k}_1, \vec{k}_2$ předpokládali komplexní "souřadnice",
pak $\vec{k}_1\cos 2x + \vec{k}_2 \sin 2x$ by dalo tutéž množinu řešení, jako $\vec{k}_1 \mathrm{e}^{\lambda_1 x} + \vec{k}_2 \,\mathrm{e}^{\lambda_2 x}$ .

Určitě by se našly lepší studijní materiály, než ten, na který jsem tehdy v rychlosti narazil, abych Ti mohl doporučit aspoň něco. Dál už zkoušej hledat sám :-).