Matematické Fórum

L.u.c.a.s · 26. 01. 2012 09:48

Dobrý den, chtěl bych požádat jestli by mi někdo prosím nepomohl s tímto příkladem. Potřeboval bych zjistit posunutí bodů A,B,C,D v osách x a y. Síly F1 až F 15 a sílu G, mám už spočítány. Spočítáno mám i napětí ve všech prutech. Všechny 3 úhly a délku L, znám, ostatní délky prutů můžu dopočítat. děkuji za reakce Lukáš

FliegenderZirkus · 26. 01. 2012 11:56

↑ L.u.c.a.s:

Metod existuje celá řada, zde máme navíc situaci zjednodušenou tím, že soustava je staticky určitá. Jednou z možností je jako neznámé nevolit síly v prutech, ale posuvy styčníků, což lze dobře algoritmizovat (pro rozsáhlejší problémy) a vždy to povede na soustavu lineárních rovnic. Pro tebe bude ale v tuto chvíli asi nejlepší použít Castiglianovu větu, tj. vyjádřit celkovou deformační energii a derivovat ji podle síly působící ve směru hledaného posuvu. Tak lze určit svislý posuv bodu A. U ostatních posuvů je potřeba zavést „imaginární bezrozměrnou sílu“ ve směru hledaného posuvu. Podrobnosti a preciznější formulaci najdeš v literatuře. Pokud takhle nestačí, tak tu budu večer.

L.u.c.a.s · 26. 01. 2012 14:18

↑ FliegenderZirkus:

Děkuji. Tak to posunutí v bodě A v ose y jsem spočítal, pomocí rovnice $U=U1+U2+... Ui$ $U1=\frac{F1^{2}}{2*k1}$ atd, za ty síly jsem dosazoval z rovnic rovnováhy, jako F1 = 3,63 G, F2 = -3,49G, po konecnem souctu a dosazením za G, to jsem měl již spočítáno mi vyšlo 6,29. Ovšem teďka nevím při posunutí v ose x, případně i u dalších bodů, co mám dosadit za ty $F1^2...Fi^{2}$ , abych to mohl derivovat podle urcité síly.Síly F3, F7 a F11 podle kterých bych derivoval posunutí v ose y, v bodech B,C,D jsou všechny nulové, takže posunutí v osách y bude 0? Chtěl bych se zeptat zda je dobře tenhle postup u posunutí v bodě v B, v ose x, kde si zvolím imaginární sílu např. F22 proti síle F2, F2=-F22, a do vzorce $U2=\frac{F2^{2}}{2*k2}$ , dosadím za F2 vyjádření z rovnic rovnováhy $G=\frac{F2}{3,49}$ , to následně zderivuju podle F2 a mám to. Za síla v F2 je kladná z důvodu že F2=-F22. děkuji

FliegenderZirkus · 26. 01. 2012 19:13

↑ L.u.c.a.s:

Možná jsi to napsal jen ve zkratce, ale pro jistotu:

(...) po konecnem souctu a dosazením za G (...)

První část je správně, sečteme deformační energie prutů jako funkci zatěžující síly G: $U=\sum_{i=1}^{15} U_i=\sum_{i=1}^{15}\frac{F_i^2 l_i}{2EA}=\sum_{i=1}^{15}\frac{F_i^2}{2k_i}=f(G)$ . Teď ale provedeme tu parciální derivaci: $\Delta A_y=\frac{\partial U(G)}{\partial G}$ , kde výrazem nalevo značím vertikální posuv bodu A. Až v tuhle chvíli dosadíme za G číslo.

S ostatními posuvy to bude, jak už jsem naznačil, složitější. Nemáme totiž žádnou sílu, podle které bychom mohli derivovat, musíme si ji tedy pokaždé zavést, provedeme stejné kroky jako v prvním případě a až na konci řekneme, že síla je vlastně rovna nule. Zní to podivně, ale vysvětlení najdeš v literatuře.

Síly F3, F7 a F11 podle kterých bych derivoval posunutí v ose y, v bodech B,C,D jsou všechny nulové, takže posunutí v osách y bude 0?

To jsou vnitřní síly, ta síla vystupující v Castiglianově větě musí být zatěžující.

Chtěl bych se zeptat zda je dobře tenhle postup u posunutí v bodě v B, v ose x, kde si zvolím imaginární sílu např. F22 proti síle F2, F2=-F22 (...)

Ne, to dobře není, tvoje imaginární síla musí být bezrozměrná a mít velikost 1. Zatížení od ní zkoumáš zcela odděleně od zatížení skutečnými silami (v našem případě od G). Vnitřní „síly“ v prutech vzniklé od imaginárního zatížení budou tedy také bezrozměrné, v podstatě takhle popisujeme geometrii té soustavy.

Doporučuji nahlédnout do některé učebnice pružnosti a pevnosti, kde najdeš kvalitnější vysvětlení než ta moje.

Matematické Fórum

#1 26. 01. 2012 09:48

Prutová soustava - posunutí uzlů

#2 26. 01. 2012 11:56

Re: Prutová soustava - posunutí uzlů

#3 26. 01. 2012 14:18

Re: Prutová soustava - posunutí uzlů

#4 26. 01. 2012 19:13

Re: Prutová soustava - posunutí uzlů

Zápatí