Matematické Fórum

zdenis · 25. 01. 2012 15:31

Zdravim, mam tady jednu diferencialni rovnici z predmetu Sdileni tepla. Ve skriptech je pouze pocatecni a konecna podoba rovnice. Rad bych ale znal i postup reseni tehle DR, tak doufam ze se najde nejaky trpelivec ktery mi stim pomuze.

Zadani: $\frac{d^{2}t}{dr^{2}}+\frac{1}{r}\cdot \frac{dt}{dr}=0$

povrchove podminky: $t=t_{1}...r=r_{1}$
$t=t_{2}...r=r_{2}$

Vyresena rovnice: $t=t_{1}-[t_{1}-t_{2}]\cdot \frac{ln\frac{r}{r_{1}}}{ln\frac{r_{2}}{r_{1}}}$

pokusil jsem se o upravu DR ale v tehle fazi jsem skoncil: $\frac{d^{2}t}{dt}=-\frac{1}{r}\cdot \frac{dr^2}{dr}$
$\frac{d^{2}t}{dt}=-\frac{1}{r}\cdot dr$

tady nevim co si pocit s levou stranou...

jelena · 25. 01. 2012 23:00

Zdravím,

asi by bylo přehlednější označit $dt/dr=u(r)$ , potom máš diferenciální rovnici separovatelnou (1. řádu):

$\frac{du}{dr}+\frac{1}{r}u=0$ , po vyřešení použiješ zpět substituci a opět budeš mít diferenciální rovnici 1. řádu. Pomůže to tak? Děkuji.

zdenis · 26. 01. 2012 11:16

↑ jelena:

$\int_{}^{}\frac{du}{u}=-\int_{}^{}\frac{dr}{r} +c_{1}$
$lnu=-lnr +c_{1}$
$u=\frac{e^{c_{1}}}{r}$
$u=\frac{c_{1}}{r}$
$\frac{dt}{dr}=\frac{c_{1}}{r}$
$\int_{}^{}dt=\int_{}^{}\frac{c_{1}}{r}dr+c_{2}$
$t=c_{1}lnr+c_{2}$

je to tak ok? a kdyz jo tak jsem opet v pasti :[ jak vyjadrit konstanty? pokud dosadim pocatecni povrchove podminky tak se asi nikam nedopocitam:[

Rumburak

↑ zdenis:
Ahoj . Nalezené obecné řešení $t(r)=a \ln r+b$ je správně, můžeš se o tom přesvědčit pomocí zkoušky dosazením do původní rovnice.

Konstanty a, b se určí z okrajových podmínek $t=t_{1}...r=r_{1}$ , $t=t_{2}...r=r_{2}$ , což patrně mělo znamenat $t(r_1) = t_1, t(r_2) = t_2$ .
Toto když postupně dosadíme do obecného řeěení, dostaneme celkem dvě (algebraické lineární) rovnice s neznámými a, b.

EDIT. Je možné, že máš nějakou chybu v tom dosazování.

zdenis · 26. 01. 2012 22:15

tak a mam to... podle me dobre :]
$t_{1}=a.lnr_{1}+b$ $\Rightarrow b=t_{1}-a.lnr_{1}$
$t_{2}=a.lnr_{2}+b$ $\Rightarrow a=\frac{t_{2}-t_{1}}{ln\frac{r_{2}}{r_{1}}}$

$t(r)=a. \ln r+b$

$t(r)=t_{1}+[t_{2}-t_{1}].[\frac{lnr}{ln\frac{r_{2}}{r_{1}}}-\frac{lnr_{1}}{ln\frac{r_{2}}{r_{1}}}]$

$t(r)=t_{1}-[t_{1}-t_{2}].\frac{ln\frac{r}{r_{1}}}{ln\frac{r_{2}}{r_{1}}}$

vsem dekuji za prispevky

Matematické Fórum

#1 25. 01. 2012 15:31

Diferencialní rovnice

#2 25. 01. 2012 23:00

Re: Diferencialní rovnice

#3 26. 01. 2012 11:16

Re: Diferencialní rovnice

#4 26. 01. 2012 11:53 — Editoval Rumburak (26. 01. 2012 11:56)

Re: Diferencialní rovnice

#5 26. 01. 2012 22:15

Re: Diferencialní rovnice

Zápatí