Matematické Fórum

číslice 4?

Vypsal jsem si násobky 17 a 23 do stovky. Pokud mám danou číslici na i-tém řádu, pak je jednoznačně daná i číslice na (i+1)-ním řádu. Brzo se to zacyklí a cyklus má délku pěti cifer. Je pak jednoduché určit, která číslice bude na libovolné pozici.

Já jsem si vypsal násobky 17 a 23 tak, aby to bylo dvojciferné číslo
17,34,51,68,85
a
23,46,69,92

Poslední číslo je 7, takže před ním musí být 1, aby to tvořilo číslo 17. Předtím muaí být 5, předtím 8, předtím 6 atak dále... jen jde

Ta 6 jako 5.číslo od konde je důležitá, protože za ní může bejt jak 8, tak 9, ale abychom se dostali na konec na tu 7, musí to být 8 a dále 5,1 a nakonec 7.

Jinde už sedmičku nedostanem, protože bychom na ní neměli co navázat.

když oddělím poslední čtyřčíslí 8517, zůstane 2002 číslic, ale bude se tam opakovat pětice 92346 ...

Do 2002 se 5 vejde 400x a 2 zbyde, takže jako první musí být druhé číslo od konce z pětice 92346.

Řada začíná číslem 4.

↑ martanko:

0, protože

↑ martanko:

Nula to bude proto, že číslo je dělitelné číslem 101 bezezbytku

↑ ttopi:

Zajímá nás zbytek - to znamená, že stačí 79*78-1=6161 dělit 101 (což jde bez kalkulačky velmi lehce) a je okamžitě vidět, že to je dělitelné.

Už když mám před sebou 6161, tak vidím, že to je 61*101 (podobně jako je hned vidět, že 77=7*11, je to stejný princip).

Jen taková zajímavost: Je-li dělitelné 101, pak



a tedy musí být dělitelné taky 101. Stejná vlastnost jako v původním zadání platí i pro a .

Nech? A je 16 litrová nádoba a B 9 litrová nádoba.

1. Naplním nádobu A. Pomocí ní naplním nádobu B. V A mám 7 litrů a v B 9 litrů

2. Vyprázdním B a zbytek z A přeliju do B. V A je 0 litrů a v B 7 litrů.

3. Naplním A. Pomocí ní naplnlím B, ve které je 7 litrů. Takže v A je 14 litrů a v B je 9 litrů.

4. Vyprázdním B a část vody z A přeliju do B. V A je 5 litrů a v B je 9 litrů.

5. Vyprázdním znovu B a zbytek z A přeliju do B. V A je 0 litrů a v B je 5 litrů.

6. Naplním A. Pomocí ní naplním B, ve které je 5 litrů. Takže v A je 12 litrů a v B je 9 litrů.

7. Vyprázdním B a část vody z A přeliju do B. V A jsou 3 litry a v B je 9 litrů.

8. Vyprázdním znovu B a zbytek z A přeliju do B. V A je 0 litrů a v B jsou 3 litry.

9. Naplním A. Pomocí ní naplním B, ve které jsou 3 litry. Takže v A je 10 litrů a v B je 9 litrů.

10. Vyprázdním B a část vody z A přeliju do B. V A je 1 litr a v B je 9 litrů.

Pokud číslo není dělitelné nějakým sudým číslem (protože ti dva hovoří za sebou, tak takové sudé číslo je), pak nutně není dělitelné ani osmi (osm má nejvyšší mocninu dvojky). Nutně tedy číslo není dělitelné osmi. Dále tedy není dělitelné buď devíti nebo sedmi.

Pokud by číslo nebylo dělitelné devíti, pak je nutně dělitelné čísly 4, 3, 5, 7, 11, 13 a je tedy alespoň 60060, což je moc.
Pokud by číslo nebylo dělitelné sedmi, pak je dělitelné čísly 4, 9, 5, 11, 13 a je tedy alespoň 25740. Protože 2*25740>50000, tak je 25740 jediné číslo, které vyhovuje zadání.

Dalsi priklad co robi problemy..tentoraz na ciselne sustavy...

Nájdite všetky trojciferné císla s nasledovnou vlastnostou:
ak pred hladané císlo napíšeme císlicu, ktorá stojí na mieste jednotiek dostaneme štvorciferné císlo, ktoré je o 18 menšie ako 7 násobok hladaného císla.

↑ martanko:
Řešil bych to takto:
Trojciderné číslo bych zapsal jako: 

Ze zadání plyne: 
protože zlomek musí být celé číslo pak:
pro z = 1 není celé číslo
pro z = 2 není celé číslo
pro z =3

pro z = 4 není celé číslo
pro z = 5 není celé číslo
pro z = 6
nesplňuje podmínku trojciferného čísla
pro z = 7, z = 8, z = 9 nebudou podmínky úlohy splněny.

Hledané číslo je číslo 503

Zkouška:
Před číslo 503 dáme číslici reprezentující jednotky tj: dostaneme číslo:
dle zadání k tomuto číslu přičteme 18 a dostaneme   

to má být stejně jako když původní číslo vynásobíme 7 tj:     

3521 = 3521 Číslo 503 vyhovuje zadání a je to jediné číslo, které vyhovuje.

PS:  Jen doufám, že to zase není z aktuální Olympiády nebo z něčeho podobného.

↑ martanko: Ahoj, docela dost dotazu...

Ad 1) V zasade mas dve moznosti.

A. Nejprve si jednotlive scitance prevedes do 10-kove soustavy, pak sectec jak to umis a pak prevedes zpet do zadane soustavy. Prevody mezi soustavami se tady na foru uz resily, staci si to vyhledat.

B. Budes primo scitat v zadane soustave. Musis si ale uvedomit, ze treba 5+6 v 8-kove soustave je 3 a zbytek 1 a tak podobne. Je to vlastne jednoduche, ale musis si to uvedomit.

Poznamka: Zadani mas stejne ale nejak divne. V 8-kove soustave jsou jen cislice 0-7, stejne tak v 7-kove jen 0-6.


Ad 2) V jake ciselne soustave to mas resit?

a) Proste to postupne od konce scitej, 3+2+6=11, tedy bud je to 1 a zbytek 1, pokud jsme v desitkove (a alespon v desitkove jsme, protoze je tam cislice 9), nebo je to A a zbytek 0, pokud jsme ve vyssi soustave. A tak dale. Napis, o jakou soustavu se jedna, jinak je reseni spousta.

b) Stejny pripad jako a)

c) Soustava je aspon 13-kova, nebot je tam cislice C, ovsem od konce 3+3+3 je 9 vzdy, tedy nikdy 3 v zadne soustave se zakladem alespon 13, takze nema reseni.


Ad 3) Pokud by to bylo v 10-kove soustave, tak prejdeme k definici, co je to napr. 723. Je to 7 * 100 + 2 * 10 + 3. Takze priklad rika: Najdete R,Y,B,A,P,L,V tak aby

2000R + 200Y + 20B + 2A = 10000P + 1000L + 101A + 10V,

coz je

2000R + 200Y + 20B = 10000P + 1000L + 99A + 10V

Vse je tu delitelne 10, tedy i 99A musi byt, coz v desitkove soustave splnuje jen A=0. Mame tedy

200R + 20Y + 2B = 1000P + 100L + V

Tedy V je sude, rekneme V = 2V', tedy mame

100R + 10Y + B = 500P + 50L + V',

odkud B-V' je delitelne peti, ale V' je jen mezi 1,2,3,4, nebot V=2V' je desitkova cislice a 0 uz je pouzita pro A. Takze B-V' je 0 nebo 5.

Kdyby B-V' bylo 5, tak

20R + 2Y + 1 = 100P + 10L,

coz nelze, protoze vyraz vlavo je lichy a vpravo sudy. Tedy B = V'. Proto mame

100R + 10Y = 500P + 50L, tedy

10R + Y = 50P + 5L, tedy Y = 5, nebot vse je delitelne 5, ale 0 je uz pouzita pro A. Takze mame

2R + 1 = 10P + L,

takze L je liche, tedy 1,3,7,9.

L = 1: R = 5P nemuze byt, protoze 5P by byla 0 nebo 5, ale obe jsou uz pouzity
L = 3: R = 5P + 1, tedy jedine P = 1, R = 6
L = 7: R = 5P + 3, tedy jedine P = 1, R = 8
L = 9: P = 5P + 4, tedy jedine P = 1, R = 9, coz nelze, protoze uz L = 9

Mame tedy reseni:

A = 0, P = 1, Y = 5 vzdy, dale

L = 3, R = 6
L = 7, R = 8

a vime, ze V = 2V' = 2B a V', tedy B je jedno z 2,3,4, protoze 1 je uz obsazeno P. Mame moznosti:

B = 2, V = 4
B = 3, V = 6, muze byt jen s L = 7, R = 8
B = 4, V = 8, muze byt jen s L = 3, R = 6.

Celkem tedy mame:

1. RYBA = 6520, PLAVA = 13040
2. RYBA = 6540, PLAVA = 13080
3. RYBA = 8520, PLAVA = 17040
4. RYBA = 8530, PLAVA = 17060.


Ad 4) Doporucil bych stejny navod jako v 1), opet je zde mnoho zadani, ktera nedavaji smysl, protze v n-kove soustave uz neni cifra n.


Ad 5) Takovych moznosti je kopec, podstatne jenom je, ze prvni cislo konci 1.


Ad 6) Opet postupnym rozborem: divejme se, jak bude cislo abc koncit, kde a,b,c jsou desitkove cifry:

(abc).36 = 3600a + 360b + 36c

nasobky sesti jsou: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54

Posledni cifru ovlivnuje jen 36c, coz dava 4 na konci jen pro c=4 nebo c=9.

Pro c=4 mame cislo 3600a+360b+144 a predposledni cifra je proto 6b+4, coz dava 2 jen pro b=3 a b=8.

Pro b=3 mame 3600a+1224, a 6a+2 nikdy neda 3. Stejne tak pro b=8 mame 3600a+3024 a 6a+0 nikdy neda 3. Takze c neni 4.

Pro c=9 mame 3600a+360b+324, tedy b=0 nebo b=5.

Pro b=0 mame 3600a+324 a mame a=0 nebo a=5.

Pro b=5 mame 3600a+2124 a 6a+1 dava na konci 3 pro a=2, nebo a=7.

Celkem tedy mame tato trojciferna cisla: 259, 509, 759 (cislo 009 jsme vysloucili, protoze neni trojciferne z jisteho uhlu pohledu).


Ad 7) Predstavme si nase hledane cislo jako abcde9 a oznacne zvlast cislo x = abcde. Pak nase cislo je vlastne 10x+9. Dale je ve hre cislo, ktere vznikne prehozenim devitky na zacatek, tedy cislo 9abcde, coz vlatne je 900000+x. Resime teda rovnici

900000 + x = 4 * (10x + 9),

coz dava reseni x = 23076, tedy puvodni cislo je 230769.

tak a s tymto neviem pohnut vobec :( blizi sa zapocet a musim vediet ako sa to rata ...kto vie nech poradi, vdaka

1. Urcte cifry a, b tak, aby císlo 31a513b bolo delitelné císlom 99.
2. Ukážte, že 17 delí císlo an...a2a1a0 práve vtedy, ked 17 delí an...a2a1 – 5. a0.
3. Nájdite všetky prirodzené císla n, pre ktoré je císlo 10n + 8 delitelné císlom 72.
4. Zistite, ktorými z císel 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12 je delitelné 166 ciferné císlo, v ktorom sa opakujú po rade císlice 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.