Matematické Fórum

j_vasek · 28. 01. 2012 16:46

Zdravím Vás, mám tu zřejmě velmi jednoduchý integrál a úkolem je stanovit objem : Těleso je ohraničeno plochami $x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 ; x^{2}+y^{2}+z^{2}=8z$ .
Mám ho spočítaný již několikrát, ale nikdy jsem nedošel k předepsanému výsledku $80\pi /3$ .
Neví si někdo z Vás rady ? Díky, ahoj.

jardofpr · 28. 01. 2012 16:49

↑ j_vasek:

ahoj, sférické súradnice nepomohli?

j_vasek · 28. 01. 2012 16:50

Zkoušel jsem je, ale dávají komplikovaný výsledek, který se velmi vzdaluje od hledaného.

jardofpr · 28. 01. 2012 16:57

↑ j_vasek:

hoď sem ten pokus, uvidíme kde je chyba, ak je

j_vasek · 28. 01. 2012 17:01

j_vasek · 28. 01. 2012 17:02

Omlouvám se za kvalitu, ale už jsem ten papír vyhodil, takže tohle je jeho rekonstrukce.

jardofpr · 28. 01. 2012 17:06

↑ j_vasek:

:D jasne, okej
aké sú to tam medze pri tom vnútornom integráli prvom?
a čo je to tam za funkcia v zátvorkách?

j_vasek · 28. 01. 2012 17:11

meze jsou v prvním řádku 0-2pi; 0-1/2pi, 4-8sin $\psi$
funkce je $(\varrho ^{2}\cos ^{2}\varphi \cos ^{2}\psi +\varrho ^{2}\sin ^{2}\cos ^{2}\psi )\varrho ^{2}\cos \psi$

jardofpr · 28. 01. 2012 17:16

↑ j_vasek:

no skôr som to myslel tak, že kde sa tam vzala, teda, pri objeme by si mal počítať integrál z jednotky násobený jakobiánom transformácie ...či to máš celé z jakobiánu?

kaja.marik · 28. 01. 2012 17:17

Mate obrazek? Vime, co pocitame?

jardofpr · 28. 01. 2012 17:19

↑ j_vasek:

no, moc sa v tých zápisoch nevyznám tvojich, ale tak poďme to spočítať odzačiatku teda

jardofpr

↑ kaja.marik:

mám pocit že viem, a aj obrázok za chvíľu bude :)

teda mali by to byť gule so stredmi [0,0,0] a [0,0,4] s polomermi 4, takže by mali byť priamo nad sebou v smere osi z pričom severný pól tej dolnej by mal byť identický so stredom tej hornej

j_vasek · 28. 01. 2012 17:24

Děkuju ti moc, já jsem to vzal jako dvě koule o stejném středu a různých poloměrech a pomocí sférických souřadnic jsem si stanovil mazikruží, ve ketrém se promítnou v rovině z=0 a pak připojil jakobián pro sférické souřadnice a dostal jsem součin na prvním řádku takovýhle.
No a dál to šlo standardně až na ten výsledek. Asi jsem udělal chybu už v úvodu, ale nevím stále v čem je moje početní strategie špatná. Moc díky za opravu a těším se na tvůj výsledek.

jardofpr · 28. 01. 2012 17:25

ale ↑ kaja.marik: mal správnu pripomienku,
vieš si predstaviť ako to teleso vyzerá?

j_vasek · 28. 01. 2012 17:28

Já v tom vidím sférickou vrstvu, ale možná se pletu. Stále si říkám, že musí mít obě koule stejný střed. Nevím, jak dokázat, že má každá svůj střed jinde.

jardofpr

↑ j_vasek:

to je len úprava rovnice
nemajú rovnaký stred:
prvá je:

$(x-0)^2+(y-0)^2+(z-0)^2 = 4^2$

teda guľa so stredom v $[0,0,0]$ a polomerom $r=4$

čo sa týka druhej:
$x^2+y^2+z^2=8z$
$x^2+y^2+z^2-8z=0$
$x^2+y^2+(z^2-8z+16)-16=0$
$x^2+y^2+(z-4)^2=4^2$

teda guľa so stredom v $[0,0,4]$ a $r=4$

nemôžeš to riešiť ako guľu kým máš na pravej strane ešte premenné
to by si si vedel urobiť guľu z akejkoľvek rovnice s ľubovoľným počtom kvadratických členov

$(x-x_{0})^2 + (y-y_{0})^2 + (z-z_{0})^2=r^2$
je všeobecná rovnica pre guľu kde $[x_{0},y_{0},z_{0}]$ je stred a $r$ je polomer

j_vasek · 28. 01. 2012 17:34

Tak teď to vidím, zkusím současně s tebou počítat. Opravdu jsi mi pomohl, zasekl jsem se na své představě a nedošla mi tahle podstatsná věc. Díky.

jardofpr · 28. 01. 2012 17:37

↑ j_vasek:

jasne, sa stanú horšie veci .. vieš si teraz predstaviť ako bude to teleso teraz vyzerať teda?

j_vasek · 28. 01. 2012 17:40

Je to jakási čočka, pokud se znovu nepletu, stačí si vyjádřit její poloměr, tedy zobrazení průmětu do z=0 a pak pomocí polrárních souřadnic spočítat dvojný integrál a nechat osu z už být. Mám pravdu ?

jardofpr · 28. 01. 2012 17:48

↑ j_vasek:

no, dá sa aj tak že sa vyjadrí jej najväčší polomer, a potom sa to počíta ako dvojný integrál ale cez !funkciu! z,
ale treba s tým robiť citlivo, len ekvivalentné transformácie,
ako, sú samozrejme aparáty aj na to že sa to presunie do plochy, teda plošným integrálom sa môže miesto objemu vypočítať povrch toho telesa, ale to iba za určitých podmienok a tiež tam treba hľadať nejakú funkciu, ktorá spĺňa nejaké podmienky, takže celkovo sa mi zdá, že žiadny z tých spôsobov nevynecháva os z

j_vasek · 28. 01. 2012 17:52

A ze způsobů, které navrhuješ, je pro tento případ výhodnější který ? A je vůbec možné v případě, kdy řežu kouli opět koulí používat jiné, než sférické souřadnice ? Děkuju

jardofpr · 28. 01. 2012 18:00

↑ j_vasek:

tak ťažko posúdiť, ktorý je najrýchlejší, použil by som sférické súradnice, a tie ostatné spôsoby v prípade, že sa neviem dopracovať k nejakému rozumnému postupu, alebo je tá množina prienikom rôznych útvarov, napríklad kužeľ a paraboloid a podobne, tam je lepšie rovno použiť metódu pre výpočet plochy ak sa dá..
(za chvíľu hodím obrázok čo sa hodí k výpočtu a potom to spočítame, nebudem to už obkecávať)

j_vasek

Navíc, pokud se pokouším integrál spočítat pomocí vyjádření dvou funkcí pro Z a pak je dosadím, odmocniny se mi odečtou a dostávám jen integrál z konstanty 4 ... To se mi nelíbí, asi to zas vořu.

Děkuju za tvůj čas, jsem rád, že jsi mi to objasnil. Řešení čekám netrpělivě :-)

jardofpr

↑ j_vasek:

no tak tu je trápny narýchlo obrázok (kresleni mi moc nejde) pri pohľade kolmom na osi y a z
(teda to znamená že os x ide priamo kolmo na teba z bodu [0,0,0], ktorý tam zaznačený nie je, a za chvíľu ti vypichne oko)

keď sa ten útvar na obrázku zatočí kompletne dokola okolo osi z, bude z toho teleso, ktorého objem máme vypočítať

je jasné že môžme počítať objem iba hornej polovice a potom vynásobiť dvomi hej?

j_vasek · 28. 01. 2012 18:36

Obrázek nemá chybu, ale pořád mi tam stejně vadí ta konstatnat pokud počítám s výjádřením pro funkce z, jak jsi uváděl dříve. Asi je vyjadřuju nějak jinak. Jak to vychází tobě, prosím ?

Matematické Fórum

#1 28. 01. 2012 16:46

prosím o radu s výpočtem integrálu a děkuju napřed

#2 28. 01. 2012 16:49

Re: prosím o radu s výpočtem integrálu a děkuju napřed

#3 28. 01. 2012 16:50

Re: prosím o radu s výpočtem integrálu a děkuju napřed

#4 28. 01. 2012 16:57

Re: prosím o radu s výpočtem integrálu a děkuju napřed

#5 28. 01. 2012 17:01

Re: prosím o radu s výpočtem integrálu a děkuju napřed

#6 28. 01. 2012 17:02

Re: prosím o radu s výpočtem integrálu a děkuju napřed

#7 28. 01. 2012 17:06

Re: prosím o radu s výpočtem integrálu a děkuju napřed

#8 28. 01. 2012 17:11

Re: prosím o radu s výpočtem integrálu a děkuju napřed

#9 28. 01. 2012 17:16

Re: prosím o radu s výpočtem integrálu a děkuju napřed

#10 28. 01. 2012 17:17

Re: prosím o radu s výpočtem integrálu a děkuju napřed

#11 28. 01. 2012 17:19

Re: prosím o radu s výpočtem integrálu a děkuju napřed

#12 28. 01. 2012 17:20 — Editoval jardofpr (28. 01. 2012 17:22)

Re: prosím o radu s výpočtem integrálu a děkuju napřed

#13 28. 01. 2012 17:24

Re: prosím o radu s výpočtem integrálu a děkuju napřed

#14 28. 01. 2012 17:25

Re: prosím o radu s výpočtem integrálu a děkuju napřed

#15 28. 01. 2012 17:28

Re: prosím o radu s výpočtem integrálu a děkuju napřed

#16 28. 01. 2012 17:31 — Editoval jardofpr (28. 01. 2012 17:35)

Re: prosím o radu s výpočtem integrálu a děkuju napřed

#17 28. 01. 2012 17:34

Re: prosím o radu s výpočtem integrálu a děkuju napřed

#18 28. 01. 2012 17:37

Re: prosím o radu s výpočtem integrálu a děkuju napřed

#19 28. 01. 2012 17:40

Re: prosím o radu s výpočtem integrálu a děkuju napřed

#20 28. 01. 2012 17:48

Re: prosím o radu s výpočtem integrálu a děkuju napřed

#21 28. 01. 2012 17:52

Re: prosím o radu s výpočtem integrálu a děkuju napřed

#22 28. 01. 2012 18:00

Re: prosím o radu s výpočtem integrálu a děkuju napřed

#23 28. 01. 2012 18:04 — Editoval j_vasek (28. 01. 2012 18:05)

Re: prosím o radu s výpočtem integrálu a děkuju napřed

#24 28. 01. 2012 18:27 — Editoval jardofpr (28. 01. 2012 18:36)

Re: prosím o radu s výpočtem integrálu a děkuju napřed

#25 28. 01. 2012 18:36

Re: prosím o radu s výpočtem integrálu a děkuju napřed

Zápatí